Нормована алгебра з діленням

Нормована алгебра з діленням — така алгебра з діленням $\ {\mathcal {A}}$ над полем дійсних чи комплексних чисел, яка одночасно є нормованою алгеброю з нормою || · ||, що задовільняє умову:

$\|xy\|=\|x\|\|y\|\quad \forall x,y\in {\mathcal {A}}.$

Теорема Гурвіца показує що таких алгебр (з точністю до ізоморфізма) існує тільки 4, а саме:

• алгебра дійсних чисел $\mathbb {R} ,$
• алгебра комплексних чисел $\mathbb {C} ,$
• алгебра кватерніонів $\mathbb {Q} ,$
• алгебра октав $\mathbb {O} .$

Норма в цих випадках збігається з модулем числа. Перші три алгебри є асоціативними, а четверта лише альтернативною.

Єдиною нормованою алгеброю з діленням над полем комплексних чисел є самі комплексні числа.

Композитні алгебри

Нормовані алгебри з діленням є частковим випадком композитних алгебр. Які є алгебрами з одиницею та з мультиплікативною квадратичною формою.

Композитна алгебра не завжди є алгеброю з діленням, вона може мати дільники нуля.

Над полем дійсних чисел композитними алгебрами є також:

• алгебра спліт-комплексних чисел,
• алгебра спліт-кватерніонів,
• алгебра спліт-октав.

Див. також

• Процедура Келі — Діксона
• Двовимірні гіперкомплексні числа

Джерела

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)