Додавання і множення гіперкомплексних чисел повинно бути узгодженим з традиційним додаванням і множенням дійсних чисел.
Дійсні числа в даній гіперкомплексній системі мають вигляд
- — додавання,
- — множення буде комутативним.
Залишилось тільки визначити, чому буде дорівнювати
Оскільки система має бути замкнута, то можемо позначити:
Розв'язуватимемо квадратне рівняння так, щоб зліва був повний квадрат, а справа тільки дійсна частина:
В залежності від знака правої частини отримаємо:
Множення
ред.
Отже, в залежності від випадку, замінивши на одну з одиниць отримаємо:
- — комплексні числа,
- — подвійні числа,
- — дуальні числа.
-
Для всіх підвидів виконується
-
-
- — дільників нуля немає;
- — існують дільники нуля виду
- — існують дільники нуля виду
Матричне представлення
ред.
Кожній з уявних одиниць можна поставити у відповідність квадратну матрицю 2*2 яка є квадратним коренем , та відповідно, і в неї нулі на головній діагоналі.
Зазвичай для вибирають одиничну матрицю, матрицю повороту на та матриці Паулі :
-
Відповідно:
Така відповідність задає ізоморфізм, якщо додаванню та множенню гіперкомплексних чисел поставити у відповідність додавання та множення матриць.
В такому представлені: