Мереживне зачеплення

В теорії вузлів мереживне зачеплення — це особливий вид зачеплення. Мереживні зачеплення, що є також вузлом (тобто зачепленням з однією компонентою), називається мереживним вузлом.

Мереживний вузол (−2,3,7)[en] має два правобічних скручення в першому сплетінні[en], три лівобічних скручення в другому і сім лівобічних скручень у третьому.

У стандартній проекції мереживне зачеплення [1] має лівобічних скручень у першому сплетенні[2], у другому і, в загальному випадку, у n-му.

Мереживне зачеплення можна описати як зачеплення Монтезіноса з цілим числом переплетень.

Деякі базові результатиРедагувати

Мереживне зачеплення   є вузлом тоді і тільки тоді, коли і  , і всі   є непарними або рівно одне з чисел   парне[3].

Мереживне зачеплення   є розвідним[en], якщо щонайменше два   рівні нулю. Однак обернене твердження хибне.

Мереживне зачеплення   є відбиттям мереживного зачеплення  .

Мереживне зачеплення   еквівалентне (тобто гомотопічно еквівалентне на S3) мереживному зачепленню  . Тоді, також, мереживне зачеплення   еквівалентне мереживному зачепленню  [3].

Мереживне зачеплення   еквівалентне мереживному зачепленню  . Однак якщо орієнтувати зачеплення в канонічному вигляді, ці два зачеплення мають протилежну орієнтацію.

ПрикладиРедагувати

Мереживний вузол (1, 1, 1) — це (правобічний) трилисник, а вузол (-1, -1, -1) є його дзеркальним відбиттям.

Мереживний вузол (5, -1, -1) — це стивідорний вузол (61).

Якщо p, q і r є різними непарними числами, більшими від 1, то мереживний вузол (p, q, r) є необоротним.

Мереживне зачеплення (2p, 2q, 2r) — це зачеплення, утворене трьома пов'язаними тривіальними вузлами.

Мереживний вузол (-3, 0, -3) (прямий вузол) є зв'язною сумою двох трилисників.

Мереживне зачеплення (0, q, 0) — це розвідне зачеплення тривіального вузла з іншим вузлом.

Зачеплення МонтесіносаРедагувати

 
Зачеплення Монтесіноса. У цьому прикладі  ,   і   .

Зачеплення Монтесіноса — це особливий вид зачеплення, що узагальнює мереживні зачеплення (мереживне зачеплення можна вважати зачепленням Монтесіноса з цілими переплетеннями). Зачеплення Монтесіноса, що є також вузлом (тобто, зачепленням з однією компонентою), є вузлом Монтесіноса.

Зачеплення Монтесіноса складається з декількох раціональних сплетень. Одним з позначень зачеплення Монтесіноса є   [4].

В цих позначеннях   і всі   і   є цілими числами. Зачеплення Монтесіноса, задане таким позначенням, складається з суми раціональних сплетень, заданих цілим числом  , і раціональних сплетень  

ВикористанняРедагувати

 
Їстівний мереживний вузол (-2,3,7)

Мереживні зачеплення (-2, 3, 2n + 1) особливо корисні для вивчення 3-многовидів[en]. Зокрема, для цих многовидів багато результатів встановлено на основі хірургії Дена[en] на мереживному вузлі (−2,3,7).

Гіперболічний об'єм доповнення мереживного зачеплення (−2,3,8) дорівнює збільшеній в 4 рази сталій Каталана, приблизно 3,66. Це мереживне зачеплення є одним з двох гіперболічних многовидів з двома каспами з мінімальними можливими об'ємами, другий многовид є доповненням зачеплення Вайтгеда2010.

ПриміткиРедагувати

  1. Використано нотацію Конвея для вузлів з доданням дужок для зручності.
  2. Замість «сплетення» також кажуть «тангл» або «зв'язка».[уточнити]
  3. а б Kawauchi, 1996.
  4. Zieschang, 1984, с. 378–389.

ЛітератураРедагувати

Література для подальшого читанняРедагувати

  • Hale F. Trotter. Topology. — Pergamon Press, 1963. — Т. 2. — С. 272—280.
  • Akio Kawauchi. A survey of knot theory. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-5124-1.
  • Heiner Zieschang. Classification of Montesinos knots // Topology ; General and Algebraic Topology, and Applications. Proceeding of the International Topological Conference held in Leningrad, August 23-27, 1982 / A. Dold, B. Eckmann/Ludwig D.Faddeev, Arkadii A. Mal’cev. — Berlin Heidelberg : Springer, 1984. — Т. 1060. — (Lecture Notes in Mathematics/USSR). — ISBN 3-540-13337-2. — ISBN 0-387-13337-2.