Межа Бекенштейна

Межа Бекенштейна — це верхня межа ентропії S, або кількості інформації I, які можуть міститися в заданій обмеженій області простору, що має скінченну кількість енергії; або, з іншого боку, максимальна кількість інформації, необхідна для ідеального опису заданої фізичної системи аж до квантового рівня^[1]. Мається на увазі, що інформація про фізичну систему, або інформація, необхідна для ідеального опису системи, повинна бути скінченною, якщо система займає скінченний простір і має скінченну енергію.

З точки зору інформатики це означає, що існує максимум швидкості обробки інформації (межа Бремерманна) для фізичної системи, яка має скінченні розміри і енергію, і що машина Тюринга з скінченними фізичними розмірами і необмеженої пам'яттю фізично не може бути реалізована.

Бекенштейн показав, що максимум ентропії, пов'язаний з тілом, досягається при перетворенні його в чорну діру.^[2] Іншими словами, при досягненні межі Бекенштейна носій інформації здійснює гравітаційний колапс, перетворюючись в чорну діру.^[3]^[4]

Формули ред.

Універсальне формулювання обмеження було спочатку відкрите Яаковом Бекенштейном як нерівність

$S\leqslant {\frac {2\pi kRE}{\hbar c}},$

де S — ентропія, k — стала Больцмана, R — радіус сфери, що охоплює цю систему, Е — сумарна маса-енергія, включаючи масу спокою, ħ — приведена стала Планка, а c — швидкість світла. Незважаючи на істотну роль гравітації, вираз не містить гравітаційної сталої G.

У застосуванні до інформації, обмеження формулюється у вигляді

$I\leqslant {\frac {2\pi RE}{\hbar c\ln 2}},$

де I — кількість інформації, виражена як число бітів, що містяться в квантових станах в сфері. Множник ln2 походить від визначення кількості інформації як логарифма за основою 2 від числа квантових станів ( $I=log_{2}O$ ).^[5] Використовуючи еквівалентність маси і енергії, інформаційна межа може бути переформульована як

$I\leqslant {\frac {2\pi cRm}{\hbar \ln 2}}\approx 2{,}5769082\cdot 10^{43}mR,$

де m — маса системи в кілограмах, а радіус R виражений в метрах.

Походження ред.

Бекенштейн вивів межу, виходячи з евристичних аргументів, що стосуються чорних дір. Якщо існує система, що порушує межу, тобто має надлишок ентропії, тоді, як стверджував Бекенштейн, можна було б порушити другий закон термодинаміки, опустивши систему в чорну діру. У 1995 році Тед Джекобсон показав, що рівняння Ейнштейна (рівняння гравітаційного поля в загальній теорії відносності) можуть бути виведені з припущення про істинність межі Бекенштейна і законів термодинаміки^[6]^[7]. Однак, незважаючи на ряд запропонованих аргументів, які показували, що в тій чи іншій формі межа неминуче повинна існувати для взаємної несуперечливості законів термодинаміки і загальної теорії відносності, точне формулювання межі було предметом дискусій.^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]

Доведення у квантовій теорії поля ред.

Доказ зв'язку Бекенштейна в рамках квантової теорії поля був наданий Казіні в 2008 році.^[19] Одним із найважливіших інсайтів доведення було знайти правильну інтерпретацію величин, що з’являються з обох сторін виразу.

Наївні визначення ентропії та густини енергії в квантовій теорії поля страждають від ультрафіолетової розбіжності. У випадку з межею Бекенштейна ультрафіолетових розбіжностей можна уникнути, взявши різницю між величинами, обчисленими в збудженому стані, і тими ж величинами, обчисленими у стані вакууму. Наприклад, для заданої області простору $V$ Казіні визначає ентропію ліворуч від межі Бекенштейна як:

$S_{V}=S(\rho _{V})-S(\rho _{V}^{0})=-\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V})+\mathrm {tr} (\rho _{V}^{0}\log \rho _{V}^{0})$

де $S(\rho _{V})$ - це ентропія фон Неймана зниженої матриці густини $\rho _{V}$ , пов'язана з $V$ у збудженому стані $\rho$ , а $S(\rho _{V}^{0})$ - відповідна ентропія фон Неймана для стану вакууму $\rho ^{0}$ .

Праворуч від межі Бекенштейна важким моментом є суворе тлумачення величини $2\pi RE$ , де $R$ є характерною шкалою довжини системи і $E$ є характерною енергією. Цей виріб має ті самі одиниці виміру, що і генератор імпульса Лоренца, і природним аналогом імпульсу в цій ситуації є модульний гамільтоніан стану вакууму $K=-\log \rho _{V}^{0}$ . Казіні визначає праву частину межі Бекенштейна як різницю між значенням очікування модульного гамільтоніана в збудженому стані та вакуумному стані,

$K_{V}=\mathrm {tr} (K\rho _{V})-\mathrm {tr} (K\rho _{V}^{0}).$

Відповідно до цих визначень межа читається як

$S_{V}\leq K_{V},$

які можна переставити, щоб отримати

$\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V})-\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V}^{0})\geq 0.$ .

Це просто твердження про позитивність відносної ентропії, що доводить межу Бекенштейна.

Приклади ред.

Чорні діри ред.

Ентропія тривимірних чорних дір, яка обчислюється за формулою Бекенштейна і Хокінга, точно насичує межу Бекенштейна:

r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},

A=4\pi r_{s}^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}},

l_{P}^{2}=\hbar G/c^{3},

S={\frac {kA}{4l_{P}^{2}}}={\frac {4\pi kGM^{2}}{\hbar c}},

де k — стала Больцмана, A — двовимірна площа горизонту подій чорної діри в одиницях планківської довжини, $l_{P}^{2}=\hbar G/c^{3}$ . Межа тісно пов'язана з термодинамікою чорних дір, голографічним принципом і голографічною межею Буссо^[en] в квантової гравітації і може бути виведена з передбачуваної сильної форми останнього.

Людський мозок ред.

У середньому людський мозок має масу 1,5 кг і об'ємом 1,26 л. Якщо мозок апроксимувати сферою, її радіус буде 6,7 см.

Межа Бекенштейна для кількості інформації в такому випадку складе близько $2{,}6\cdot 10^{42}$ біт, що представляє максимальну кількість інформації, необхідну для повного відтворення середнього людського мозку аж до квантового рівня, а кількість $O=2^{I}$ квантових станів людського мозку має бути менше приблизно $10^{7{,}8\cdot 10^{41}}$ .

Див. також ред.

Примітки ред.

↑ Jacob D. Bekenstein, «Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for bounded systems», Physical Review D, Vol. 23, No. 2, (January 15, 1981), pp. 287—298, DOI:10.1103/PhysRevD.23.287, Bibcode: 1981PhRvD..23..287B..
↑ Jacob D. Bekenstein. Black Holes and Entropy // Physical Review D. — 1973-04-15. — Т. 7, вип. 8. — С. 2339. — DOI:10.1103/PhysRevD.7.2333.
↑ Is Information Fundamental? (англ.). www.pbs.org. Архів оригіналу за 13 жовтня 2018. Процитовано 30 листопада 2018.
↑ Stephen Hawking. {{{Заголовок}}}. — ISBN 9781473696006.
↑ Frank J. Tipler, The structure of the world from pure numbers// Reports on Progress in Physics^[en], Vol. 68, No. 4 (April 2005), pp. 897—964, DOI:10.1088/0034-4885/68/4/R04, Bibcode: 2005RPPh...68..897T, p. 902.. Also released as Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything // arXiv:0704.3276, April 24, 2007, p. 8.
↑ Ted Jacobson^[en]. Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State // Physical Review Letters, Vol. 75, Issue 7 (August 14, 1995), pp. 1260—1263, DOI:10.1103/PhysRevLett.75.1260, Bibcode: 1995PhRvL..75.1260J. Also at arXiv:gr-qc/9504004, April 4, 1995. Also available here [Архівовано 7 жовтня 2012 у Wayback Machine.] and here [Архівовано 9 липня 2010 у Wayback Machine.]. Additionally available as an entry [Архівовано 2011-10-01 у Wayback Machine.]in the Gravity Research Foundation's^[en] 1995 essay competition. .
↑ Lee Smolin^[en]. Three Roads to Quantum Gravity^[en]. — New York, N.Y.: Basic Books. — 2002. — p. 173, 175.
↑ Jacob D. Bekenstein. How Does the Entropy/Information Bound Work? // Foundations of Physics^[en], Vol. 35, No. 11 (November 2005), p. 1805—1823, DOI:10.1007/s10701-005-7350-7, Bibcode: 2005FoPh...35.1805B. Also at arXiv:quant-ph/0404042, April 7, 2004.
↑ Jacob D. Bekenstein. Bekenstein bound [Архівовано 24 серпня 2019 у Wayback Machine.] // Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (October 31, 2008), p. 7374, DOI:10.4249/scholarpedia.7374.
↑ Raphael Bousso. Holography in general space-times // Journal of High Energy Physics^[en], Vol. 1999, Issue 6 (June 1999), Art. No. 28, 24 pages, DOI:10.1088/1126-6708/1999/06/028, Bibcode: 1999JHEP...06..028B. Mirror link. Also at arXiv:hep-th/9906022, 3 June 1999.
↑ Raphael Bousso. A covariant entropy conjecture // Journal of High Energy Physics^[en], Vol. 1999, Issue 7 (July 1999), Art. No. 4, 34 pages, DOI:10.1088/1126-6708/1999/07/004, Bibcode: 1999JHEP...07..004B. Mirror link. Also at arXiv:hep-th/9905177, 24 May 1999.
↑ Raphael Bousso. The holographic principle for general backgrounds // Classical and Quantum Gravity^[en], Vol. 17, No. 5 (March 7, 2000), p. 997—1005, DOI:10.1088/0264-9381/17/5/309, Bibcode: 2000CQGra..17..997B. Also at arXiv:hep-th/9911002, 2 November 1999.
↑ Jacob D. Bekenstein. Holographic bound from second law of thermodynamics // Physics Letters B^[en], Vol. 481, Issues 2-4 (May 25, 2000), p. 339—345, DOI:10.1016/S0370-2693(00)00450-0, Bibcode: 2000PhLB..481..339B. Also at arXiv:hep-th/0003058, 8 March 2000.
↑ Raphael Bousso. The holographic principle [Архівовано 2011-08-12 у Wayback Machine.]// Reviews of Modern Physics, Vol. 74, No. 3 (July 2002), p. 825—874, DOI:10.1103/RevModPhys.74.825, Bibcode: 2002RvMP...74..825B.. Also at arXiv:hep-th/0203101, 12 March 2002.
↑ Jacob D. Bekenstein. Information in the Holographic Universe: Theoretical results about black holes suggest that the universe could be like a gigantic hologram// Scientific American, Vol. 289, No. 2 (August 2003), p. 58—65..
↑ Raphael Bousso, Éanna É. Flanagan, Donald Marolf^[en]. Simple sufficient conditions for the generalized covariant entropy bound // Physical Review D, Vol. 68, Issue 6 (15 September 2003), Art. No. 064001, 7 pages, DOI:10.1103/PhysRevD.68.064001, Bibcode: 2003PhRvD..68f4001B. Also at arXiv:hep-th/0305149, 19 May 2003.
↑ Jacob D. Bekenstein. Black holes and information theory // Contemporary Physics^[en], Vol. 45, Issue 1 (January 2004), p. 31—43, DOI:10.1080/00107510310001632523, Bibcode: 2003ConPh..45...31B. Also at arXiv:quant-ph/0311049, 9 November 2003. Also at arXiv:quant-ph/0311049, 9 November 2003.
↑ Frank J. Tipler. The structure of the world from pure numbers] // Reports on Progress in Physics^[en], Vol. 68, No. 4 (April 2005), p. 897—964, DOI:10.1088/0034-4885/68/4/R04, Bibcode: 2005RPPh...68..897T. Mirror link. Also released as Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything // arXiv:0704.3276, 24 April 2007. Tipler gives a number of arguments for maintaining that Bekenstein's original formulation of the bound is the correct form. See in particular the paragraph beginning with «A few points …» on p. 903 of the Rep. Prog. Phys. article (or p. 9 of the arXiv version), and the discussions on the Bekenstein bound that follow throughout the article.
↑ Casini, Horacio (2008). Relative entropy and the Bekenstein bound. Classical and Quantum Gravity. 25 (20): 205021. arXiv:0804.2182. Bibcode:2008CQGra..25t5021C. doi:10.1088/0264-9381/25/20/205021.

Література ред.

J. D. Bekenstein, «Black Holes and the Second Law», Lettere al Nuovo Cimento, Vol. 4, No 15 (August 12, 1972), pp. 737—740, DOI:10.1007/BF02757029, Bibcode: 1972NCimL...4..737B. Mirror link.
Jacob D. Bekenstein, «Black Holes and Entropy», Physical Review D, Vol. 7, No. 8 (April 15, 1973), pp. 2333—2346, DOI:10.1103/PhysRevD.7.2333, Bibcode: 1973PhRvD...7.2333B. Mirror link.
Jacob D. Bekenstein, «Generalized second law of thermodynamics in black-hole physics», Physical Review D, Vol. 9, No. 12 (June 15, 1974), pp. 3292-3300, DOI:10.1103/PhysRevD.9.3292, Bibcode: 1974PhRvD...9.3292B. Mirror link.
Jacob D. Bekenstein, «Statistical black-hole thermodynamics», Physical Review D, Vol. 12, No. 10 (November 15, 1975), pp. 3077-3085, DOI:10.1103/PhysRevD.12.3077, Bibcode: 1975PhRvD..12.3077B. Mirror link.
Jacob D. Bekenstein, «Black-hole thermodynamics», Physics Today, Vol. 33, Issue 1 (January 1980), pp. 24-31, DOI:10.1063/1.2913906, Bibcode: 1980PhT....33a..24B. Mirror link.
Jacob D. Bekenstein, «Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for bounded systems», Physical Review D, Vol. 23, No. 2, (January 15, 1981), pp. 287—298, DOI:10.1103/PhysRevD.23.287, Bibcode: 1981PhRvD..23..287B. Mirror link.
Jacob D. Bekenstein, «Energy Cost of Information Transfer», Physical Review Letters, Vol. 46, No. 10 (March 9, 1981), pp. 623—626, DOI:10.1103/PhysRevLett.46.623, Bibcode: 1981PhRvL..46..623B. Mirror link.
Jacob D. Bekenstein, «Specific entropy and the sign of the energy», Physical Review D, Vol. 26, No. 4 (August 15, 1982), pp. 950—953, DOI:10.1103/PhysRevD.26.950, Bibcode: 1982PhRvD..26..950B.
Jacob D. Bekenstein, «Entropy content and information flow in systems with limited energy», Physical Review D, Vol. 30, No. 8, (October 15, 1984), pp. 1669—1679, DOI:10.1103/PhysRevD.30.1669, Bibcode: 1984PhRvD..30.1669B. Mirror link.
Jacob D. Bekenstein, «Communication and energy», Physical Review A, Vol. 37, Issue 9 (May 1988), pp. 3437-3449, DOI:10.1103/PhysRevA.37.3437, Bibcode: 1988PhRvA..37.3437B. Mirror link.
Marcelo Schiffer and Jacob D. Bekenstein, «Proof of the quantum bound on specific entropy for free fields», Physical Review D, Vol. 39, Issue 4 (February 15, 1989), pp. 1109—1115, DOI:10.1103/PhysRevD.39.1109 PMID 9959747, Bibcode: 1989PhRvD..39.1109S.
Jacob D. Bekenstein, «Is the Cosmological Singularity Thermodynamically Possible?», International Journal of Theoretical Physics^[en], Vol. 28, Issue 9 (September 1989), pp. 967—981, DOI:10.1007/BF00670342, Bibcode: 1989IJTP...28..967B.
Jacob D. Bekenstein, «Entropy bounds and black hole remnants», Physical Review D, Vol. 49, Issue 4 (February 15, 1994), pp. 1912—1921, DOI:10.1103/PhysRevD.49.1912, Bibcode: 1994PhRvD..49.1912B. Also at arXiv:gr-qc/9307035, July 25, 1993.
Oleg B. Zaslavskii, «Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in Gedankenexperiments with black holes», Classical and Quantum Gravity^[en], Vol. 13, No. 1 (January 1996), pp. L7-L11, DOI:10.1088/0264-9381/13/1/002, Bibcode: 1996CQGra..13L...7Z. See also O. B. Zaslavskii, «Corrigendum to 'Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in Gedankenexperiments with black holes'», Classical and Quantum Gravity^[en], Vol. 13, No. 9 (September 1996), p. 2607, DOI:10.1088/0264-9381/13/9/024, Bibcode: 1996CQGra..13.2607Z.
Jacob D. Bekenstein, «Non-Archimedean character of quantum buoyancy and the generalized second law of thermodynamics», Physical Review D, Vol. 60, Issue 12 (December 15, 1999), Art. No. 124010, 9 pages, DOI:10.1103/PhysRevD.60.124010, Bibcode: 1999PhRvD..60l4010B. Also at arXiv:gr-qc/9906058, June 16, 1999.

Джерела ред.

Jacob D. Bekenstein, «Bekenstein bound» [Архівовано 14 квітня 2021 у Wayback Machine.], Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7374, DOI:10.4249/scholarpedia.7374.
Jacob D. Bekenstein, «Bekenstein-Hawking entropy» [Архівовано 16 жовтня 2011 у Wayback Machine.], Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7375, DOI:10.4249/scholarpedia.7375.
Jacob D. Bekenstein's website [Архівовано 8 жовтня 2018 у Wayback Machine.] at the Racah Institute of Physics^[en], Hebrew University of Jerusalem, which contains a number of articles on the Bekenstein bound.
сторінка Яакова Бекенштейна [Архівовано 8 жовтня 2018 у Wayback Machine.] (Єврейський університет у Єрусалимі), на якій опубліковано ряд статей про межу Бекенштейна.

[Bekenstein1981-1-1] Jacob D. Bekenstein, «Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for bounded systems», Physical Review D, Vol. 23, No. 2, (January 15, 1981), pp. 287—298, DOI:10.1103/PhysRevD.23.287, Bibcode: 1981PhRvD..23..287B..

[2] Jacob D. Bekenstein. Black Holes and Entropy // Physical Review D. — 1973-04-15. — Т. 7, вип. 8. — С. 2339. — DOI:10.1103/PhysRevD.7.2333.

[3] Is Information Fundamental? (англ.). www.pbs.org. Архів оригіналу за 13 жовтня 2018. Процитовано 30 листопада 2018.

[4] Stephen Hawking. {{{Заголовок}}}. — ISBN 9781473696006.

[Tipler2005b-5] Frank J. Tipler, The structure of the world from pure numbers// Reports on Progress in Physics^[en], Vol. 68, No. 4 (April 2005), pp. 897—964, DOI:10.1088/0034-4885/68/4/R04, Bibcode: 2005RPPh...68..897T, p. 902.. Also released as Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything // arXiv:0704.3276, April 24, 2007, p. 8.

[Jacobson1995-6] Ted Jacobson^[en]. Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State // Physical Review Letters, Vol. 75, Issue 7 (August 14, 1995), pp. 1260—1263, DOI:10.1103/PhysRevLett.75.1260, Bibcode: 1995PhRvL..75.1260J. Also at arXiv:gr-qc/9504004, April 4, 1995. Also available here [Архівовано 7 жовтня 2012 у Wayback Machine.] and here [Архівовано 9 липня 2010 у Wayback Machine.]. Additionally available as an entry [Архівовано 2011-10-01 у Wayback Machine.]in the Gravity Research Foundation's^[en] 1995 essay competition. .

[Smolin2002-7] Lee Smolin^[en]. Three Roads to Quantum Gravity^[en]. — New York, N.Y.: Basic Books. — 2002. — p. 173, 175.

[Bekenstein2005-8] Jacob D. Bekenstein. How Does the Entropy/Information Bound Work? // Foundations of Physics^[en], Vol. 35, No. 11 (November 2005), p. 1805—1823, DOI:10.1007/s10701-005-7350-7, Bibcode: 2005FoPh...35.1805B. Also at arXiv:quant-ph/0404042, April 7, 2004.

[Bekenstein2008-9] Jacob D. Bekenstein. Bekenstein bound [Архівовано 24 серпня 2019 у Wayback Machine.] // Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (October 31, 2008), p. 7374, DOI:10.4249/scholarpedia.7374.

[Bousso1999-6-10] Raphael Bousso. Holography in general space-times // Journal of High Energy Physics^[en], Vol. 1999, Issue 6 (June 1999), Art. No. 28, 24 pages, DOI:10.1088/1126-6708/1999/06/028, Bibcode: 1999JHEP...06..028B. Mirror link. Also at arXiv:hep-th/9906022, 3 June 1999.

[Bousso1999-7-11] Raphael Bousso. A covariant entropy conjecture // Journal of High Energy Physics^[en], Vol. 1999, Issue 7 (July 1999), Art. No. 4, 34 pages, DOI:10.1088/1126-6708/1999/07/004, Bibcode: 1999JHEP...07..004B. Mirror link. Also at arXiv:hep-th/9905177, 24 May 1999.

[Bousso2000-12] Raphael Bousso. The holographic principle for general backgrounds // Classical and Quantum Gravity^[en], Vol. 17, No. 5 (March 7, 2000), p. 997—1005, DOI:10.1088/0264-9381/17/5/309, Bibcode: 2000CQGra..17..997B. Also at arXiv:hep-th/9911002, 2 November 1999.

[Bekenstein2000-13] Jacob D. Bekenstein. Holographic bound from second law of thermodynamics // Physics Letters B^[en], Vol. 481, Issues 2-4 (May 25, 2000), p. 339—345, DOI:10.1016/S0370-2693(00)00450-0, Bibcode: 2000PhLB..481..339B. Also at arXiv:hep-th/0003058, 8 March 2000.

[Bousso2002-14] Raphael Bousso. The holographic principle [Архівовано 2011-08-12 у Wayback Machine.]// Reviews of Modern Physics, Vol. 74, No. 3 (July 2002), p. 825—874, DOI:10.1103/RevModPhys.74.825, Bibcode: 2002RvMP...74..825B.. Also at arXiv:hep-th/0203101, 12 March 2002.

[Bekenstein2003-15] Jacob D. Bekenstein. Information in the Holographic Universe: Theoretical results about black holes suggest that the universe could be like a gigantic hologram// Scientific American, Vol. 289, No. 2 (August 2003), p. 58—65..

[BoussoEtAl2003-16] Raphael Bousso, Éanna É. Flanagan, Donald Marolf^[en]. Simple sufficient conditions for the generalized covariant entropy bound // Physical Review D, Vol. 68, Issue 6 (15 September 2003), Art. No. 064001, 7 pages, DOI:10.1103/PhysRevD.68.064001, Bibcode: 2003PhRvD..68f4001B. Also at arXiv:hep-th/0305149, 19 May 2003.

[Bekenstein2004-17] Jacob D. Bekenstein. Black holes and information theory // Contemporary Physics^[en], Vol. 45, Issue 1 (January 2004), p. 31—43, DOI:10.1080/00107510310001632523, Bibcode: 2003ConPh..45...31B. Also at arXiv:quant-ph/0311049, 9 November 2003. Also at arXiv:quant-ph/0311049, 9 November 2003.

[Tipler2005-18] Frank J. Tipler. The structure of the world from pure numbers] // Reports on Progress in Physics^[en], Vol. 68, No. 4 (April 2005), p. 897—964, DOI:10.1088/0034-4885/68/4/R04, Bibcode: 2005RPPh...68..897T. Mirror link. Also released as Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything // arXiv:0704.3276, 24 April 2007. Tipler gives a number of arguments for maintaining that Bekenstein's original formulation of the bound is the correct form. See in particular the paragraph beginning with «A few points …» on p. 903 of the Rep. Prog. Phys. article (or p. 9 of the arXiv version), and the discussions on the Bekenstein bound that follow throughout the article.

[19] Casini, Horacio (2008). Relative entropy and the Bekenstein bound. Classical and Quantum Gravity. 25 (20): 205021. arXiv:0804.2182. Bibcode:2008CQGra..25t5021C. doi:10.1088/0264-9381/25/20/205021.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]