Лемніската Бута

плоска алгебрична крива четвертого порядку

Лемніска́та Бу́та — плоска алгебрична крива четвертого порядку, частковий випадок кривої Персея. Названа на честь англо-ірландського математика Джеймса Бута[en].

Лемніската Бута

Рівняння у декартових координатах:

Види

ред.

Форма кривої залежить від співвідношення між параметрами   і  . Якщо  , то рівняння лемніскати набуде вигляду

 , де   і  

У цьому випадку лемніската Бута є подерою еліпса відносно його центра і називається еліптичною. Її рівняння у полярних координатах має вигляд

 

Якщо  , то рівняння лемніскати набуде виду

 , де   і  

У цьому випадку лемніската Бута є подерою гіперболи відносно її центра і називається гіперболічною. Її рівняння у полярних координатах має вигляд

 

Часткові випадки

ред.
  • При   лемніската Бута вироджується у два кола  
  • При   лемніската Бута вироджується у лемніскату Бернуллі.

Властивості

ред.
  • Лемніската Бута — ортогональна проєкція на площину xOy лінії перетину поверхні параболоїда   з поверхнею конуса  
  • Лемніскату Бута можна отримати інверсією кривої другого порядку   з центром у початку координат.

Площа

ред.

За допомогою рівняння лемніскати у полярних координатах можна визначити площу, яку вона обмежує. Для еліптичної лемніскати:

 

Для гіперболічної лемніскати:

 

Див. також

ред.

Джерела

ред.
  • А. А. Савелов. Кривые Персея // Плоские кривые: систематика, свойства, применение / Под ред. А. П. Нордена. — М. : Физматлит, 1960. — С. 144—146.
  • Математическая энциклопедия / Под. ред. И. М. Виноградова. — Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 566.
  • Weisstein, Eric W. Hippopede(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Courbe de Booth [Архівовано 12 травня 2020 у Wayback Machine.](фр.)