Крива Персея

Крива́ Персе́я (спіричний перетин, спірична лінія, від дав.-гр. σπειρα — тор) — лінія перетину поверхні тора площиною, паралельною до осі обертання тора; плоска алгебрична крива 4-го порядку. Залежно від відстані січної площини до осі тора, криві можуть мати форми «опуклих» та «увігнутих» овалів, «вісімок» та двох окремих овалів.

Криві Персея як переріз тора площиною

Три кривих Персея:
$a=1,b=2,c=0$
$a=1,b=2,c=0{,}8$
$a=1,b=2,c=1$

Вперше цей підклас торичних перерізів вивчався давньогрецьким геометром Персеєм близько 150 року до н. е., через приблизно 200 років після перших досліджень конічних перетинів Менехмом. Повторно описані у XVII столітті лемніската Бута («опуклий овал») і овал Кассіні («вісімка») — є частковими випадками кривої Персея.

Рівняння кривої у декартовій системі координат:

$(x^{2}+y^{2})^{2}=ax^{2}+by^{2}+c$.

Інша форма рівняння у декартових координатах:

$(r^{2}-a^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2})^{2}=4r^{2}(x^{2}+c^{2})$,

тут $a$ — радіус кола, обертанням якого уздовж кола з радіусом $r$ утворений тор. При $c=0$ крива складається з двох кіл радіуса $a$ з центрами $(\pm r,0)$; при $c=r+a$ крива вироджується у точку — початок координат, якщо ж $c>r+a$ — то крива складається з порожньої множини точок.

Також можна визначити криву Персея як біциркулярну криву, симетричну відносно осей $x$ і $y$.

Рівняння у полярних координатах:

$(r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos ^{2}\theta +c^{2})$,

або

$r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f$.

Джерела

• John Stillwell. Mathematics and Its History. — Springer-Verlag, 2010. — С. 33. — ISBN 978-1-4419-6053-5.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Spiric Section(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Spiric Sections. MacTutor History. 1 січня 1997. Архів оригіналу за 26 жовтня 2019. Процитовано 12 квітня 2020.
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Perseus в архіві MacTutor (англ.)