Кутова відстань

Кутова відстань $\theta$ (також відома як видима відстань) — це кут між двома лініями огляду або між двома точковими об’єктами, якщо дивитися з боку спостерігача.

Кутова відстань з'являється в математиці (зокрема, геометрії та тригонометрії) та всіх природничих науках (наприклад , астрономії та геофізиці). У класичній механіці об'єктів, що обертаються, він з'являється поряд з кутовою швидкістю, кутовим прискоренням, кутовим моментом, моментом інерції та крутним моментом.

Використання

Термін кутова відстань (або поділ) є технічно синонімом самого кута, але має на увазі лінійну відстань між об’єктами (наприклад, пара зірок, спостережених із Землі).

Вимірювання

Оскільки кутова відстань (або поділ) концептуально ідентична куту, вона вимірюється в тих самих одиницях, таких як градуси або радіани, за допомогою таких інструментів, як гоніометри або оптичні інструменти, спеціально розроблені для вказівки в чітко визначених напрямках і запису відповідних кути (наприклад, телескопи).

Рівняння

Загальний випадок

Кутовий поділ $\theta$ між точками А і В, як видно з О

Щоб вивести рівняння, яке описує кутовий розрив двох точок, розташованих на поверхні сфери, якщо дивитися з центру сфери, ми використовуємо приклад двох астрономічних об’єктів $A$ і $B$ спостерігається із Землі. Об'єкти $A$ і $B$ визначаються їх небесними координатами, а саме їхніми прямими сходженнями (RA), $(\alpha _{A},\alpha _{B})\in [0,2\pi ]$; і відмінювання (dec), $(\delta _{A},\delta _{B})\in [-\pi /2,\pi /2]$. Дозволяти $O$ вказують спостерігача на Землі, який, як передбачається, знаходиться в центрі небесної сфери. Скалярний добуток векторів $\mathbf {OA}$ і $\mathbf {OB}$ дорівнює:

$\mathbf {OA} \cdot \mathbf {OB} =R^{2}\cos \theta$

що еквівалентно:

$\mathbf {n_{A}} .\mathbf {n_{B}} =\cos \theta$

В $(x,y,z)$ кадру, два унітарні вектори розкладаються на:

$\mathbf {n_{A}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\\\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\\\sin \delta _{A}\end{pmatrix}}\mathrm {\qquad and\qquad } \mathbf {n_{B}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}\\\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}\\\sin \delta _{B}\end{pmatrix}}.$

тому

$\mathbf {n_{A}} \mathbf {n_{B}} =\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}+\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}+\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}\equiv \cos \theta$

потім:

$\theta =\cos ^{-1}\left[\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\cos(\alpha _{A}-\alpha _{B})\right]$

Апроксимація малої кутової відстані

Наведений вище вираз справедливий для будь-якого положення A і B на сфері. В астрономії часто буває так, що розглядувані об'єкти знаходяться на небі дійсно близько: зірки в полі зору телескопа, подвійні зірки, супутники планет-гігантів Сонячної системи і т.д. У тому випадку, коли $\theta \ll 1$ радіан, маючи на увазі $\alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1$ і $\delta _{A}-\delta _{B}\ll 1$, ми можемо розвинути наведений вище вираз і спростити його. У наближенні малого кута, у другому порядку, наведений вище вираз стає:

$\cos \theta \approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\left[1-{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\right]$

значення

$1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \cos(\delta _{A}-\delta _{B})-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}$

отже

$1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1-{\frac {(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}{2}}-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}$ .

Враховуючи це $\delta _{A}-\delta _{B}\ll 1$ і $\alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1$, при розвитку другого порядку виходить так $\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\approx \cos ^{2}\delta _{A}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}$, так що

$\theta \approx {\sqrt {\left[(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}\right]^{2}+(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}}$

Мала кутова відстань: площинна апроксимація

Площинне наближення кутової відстані на небі

Якщо ми розглянемо детектор, який створює зображення невеликого поля неба (розмір набагато менше одного радіана) з $y$ -вісь спрямована вгору, паралельна меридіану прямого сходження $\alpha$, і $x$ -вісь по паралелі відмінювання b, кутове розділення можна записати так:

$\theta \approx {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}$

де $\delta x=(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}$ і $\delta y=\delta _{A}-\delta _{B}$ .

Зверніть увагу, що $y$ -вісь дорівнює схиленню, тоді як $x$ -вісь - це пряме сходження, модульоване $\cos \delta _{A}$ оскільки переріз сфери радіусом $R$ за схиленням (широта) $\delta$ є $R'=R\cos \delta _{A}$ (див. малюнок).

Див. також

• Мілірадіан
• Градіан
• Годинний кут
• Центральний кут
• Кут повороту
• Кутовий діаметр
• Відстань великого кола

Примітки

• КАСТОР, автор(и) невідомий. Сферична тригонометрія проти. векторний аналіз".