У математиціперетворення Ганкеля (Ханкеля) виражає будь-яку дану функцію як зважену суму нескінченної кількості функцій Бесселя першого родуJν(kr) . Всі функції Бесселя в сумі мають однаковий порядок , але відрізняються коефіцієнтом масштабування вздовж осі . Необхідний коефіцієнт Fν кожної функції Бесселя в сумі, як функція коефіцієнта масштабування , визначає перетворювану функцію. Перетворення Ганкеля є інтегральним перетворенням і було вперше отримано математиком Германом Ганкелем . Воно також відоме як перетворення Фур'є-Бесселя. Подібно до того, як перетворення Фур'є для нескінченного інтервалу пов'язане з рядом Фур'є над скінченним інтервалом, так і перетворення Ганкеля над нескінченним інтервалом пов'язане з рядом Фур'є-Бесселя над скінченим інтервалом.
Існування оберненого перетворення Ганкеля функції справедливо для кожної точки, в якій неперервна, за умови, що функція визначена на , є кусково неперервною і обмеженої варіації на будь-якому скінченому підінтервалі в та
Однак, як і для перетворення Фур'є, область може бути розширена на областi всюди щiльного аргументу, щоб включити деякі функції, для яких вищенаведений iнтеграл не є скiнченим, наприклад .
За альтернативним означенням перетворення Ганкеля для функцiї це[1]
Якщо , то
Ці два означення пов'язані між собою:
Це означає, що, як в першому означеннi, перетворення Ганкеля тут є оберненим до самого себе:
На областi визначення виконується умова
Отже, перетворення Ганкеля можна розширити на ширший клас функцiй. Вiдповiдно до наведеного вище посилання, якщо взяти iнтеграл як границю з верхнею межею, що прямує до нескiнченностi (невласний інтеграл, а не інтеграл Лебега ), , то перетворення Ганкеля та вiдповiдне обернене перетворення визначенi для всiх функцiй з простору L 2.
Перетворення Ганкеля може бути використано для перетворення та розв’язання рівняння Лапласа, записаного в цилiндричних координатах. Пiд дiєю перетворення Ганкеля, оператор Бесселя домножується на .[2] В осесиметричному випадку рівняння з частиними похiдними набуває вигляду
що є звичайним диференціальним рівнянням відносно перетвореної змінній .
Перетворення Ганкеля часто зустрiчається у фiзичних задачах iз цилiндричною або сферичною симетрiєю при записi багатовимiрного перетворення Фур’є в гіперсферичних координатах.
Розглянемо функцію -вимірного вектора r. Його -вимірне перетворення Фур'є визначається як
Для того, щоб переписати його в гiперсферичних координатах, можна використати розклад плоскої хвилi на -вимірні гіперсферичні гармоніки : [4]
де і — набори всiх гiперсферичних кутiв у -просторі та -просторі. Це дає наступне спiввiдношення для -вимірного перетворення Фур’є в гiперсферичних координатах:
Якщо розкласти і через гіперсферичні гармоніки:
то перетворення Фур'є в гіперсферичних координатах спрощується до
Це означає, що функцiї з кутовою залежнiстю у виглядi гiперсферичної гармонiки зберiгають її при багатовимiрному перетвореннi Фур’є, тодi як радiальна частина змiнюється при перетвореннi Ганкеля (з точнiстю до деяких додаткових множникiв, таких як ).
Якщо d-вимірна функція f(r) не залежить від кутових координат, то її d-вимірне перетворення Фур'є F(k) також не залежить від кутових координат і визначається як[5]
Якщо двовимірну функцію f(r) розширити в мультипольний ряд, а коефіцієнти розкладу fm досить гладкі поблизу початку координат і дорівнюють нулю поза радіусом R, радіальну частину f(r)/rm можна розкласти до степеневий ряд за:
то двовимірне перетворення Фур'є функції f(r) має вигляд
де остання рівність випливає з §6.567.1.[6] Коефіцієнти розкладу fm,t визначаються за допомогою дискретних перетворень Фур'є: [7] якщо радіальна відстань масштабується як
то коефiцiєнти ряду Фур’є–Чебишева g виглядають як
Використання додаткового розкладу в ряд
приводить до представлення fm,t через суми gm,j.
Це один iз рiзновидiв методiв швидкого перетворення Ганкеля.
Перетворення Ганкеля є одним із членів циклу Фур’є-Ганкеля-Абеля інтегральних операторів. У розмірності два, якщо визначити A як оператор інтегрального перетворення Абеля, F як оператор перетворення Фур'є, а H як оператор перетворення Ганкеля нульового порядку, то частинний випадок теореми про проекційний зріз для циклічно-симетричних функцій стверджує, що
Iншими словами, застосування перетворення Абеля до одновимiрної функцiї, а потiм застосування перетворення Фур’є до цього результату — це те саме, що застосування перетворення Ганкеля до цiєї функцiї. Цей пiдхiд можна розширити на вищi розмiрностi.
Простий та ефективний пiдхiд до чисельної оцiнки перетворення Ганкеля базується на спостереженнi, що воно може бути представлено у виглядi згортки за допомогою логарифмiчної замiни змiнних[8]
У цих нових змінних перетворення Ганкеля набуває вигляду
де
Тепер інтеграл можна обчислити чисельно зі складністю при використанні швидкого перетворення Фур'є. Алгоритм можна додатково спростити, використовуючи вiдомий аналiтичний вираз для перетворення Фур'є : [9]
Оптимальний вибір параметрів залежить від властивостей функції , зокрема, від її асимптотичної поведінки при і .
Цей алгоритм вiдомий як “квазiшвидке перетворення Ганкеля”, або просто “швидке перетворення Ганкеля”.
Оскiльки алгоритм базується на швидкому перетворенні Фур'є в логарифмiчних змiнних, функцiя має бути визначена на логарифмiчнiй сiтцi. Для функцiй, визначених на однорiднiй сiтцi, iснує ряд iнших алгоритмiв, включаючи безпосередню квадратуру, методи, що базуються на теоремі про проекційний зріз, та методи, що використовують асимптотичні розклади функцій Бесселя.[10]
↑Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M. (2015). Zwillinger, Daniel (ред.). Table of Integrals, Series, and Products (вид. Eighth). Academic Press. с. 687. ISBN978-0-12-384933-5.
↑Cree, M.J.; Bones, P.J. (July 1993). Algorithms to numerically evaluate the Hankel transform. Computers & Mathematics with Applications. 26 (1): 1—12. doi:10.1016/0898-1221(93)90081-6. ISSN0898-1221.
↑Papoulis, Athanasios (1981). Systems and Transforms with Applications to Optics. Florida USA: Krieger Publishing Company. с. 140—175. ISBN978-0898743586.