Квадратури Гауса

В обчислювальній математиці, квадратурні формули використовують для апроксимації визначеного інтеграла заданої функції. Зазвичай являють собою скінченну суму зважених значень функції в певних точках (вузлах) з області інтегрування. (більше про квадратурні формули див. чисельне інтегрування) n-точковою квадратурою Гауса, або квадратурною формулою Гауса (на честь Карла Гауса), називається формула

що обчислює точне значення інтегралів для поліномів порядку не вище 2n − 1 з відповідним вибором вузлів xi і ваг wi при i = 1,…,n.

Для знаходження вузлів і ваг квадратури використовують ортогональні поліноми на інтервалі інтегрування. Вибраючи різні поліноми для різних ваг отримують різні набори вузлів і вагових коефіцієнтів. Для найпоширеніших систем зазвичай виведені аналітичні формули, тому, щоб обчислити інтеграл на довільному проміжку, можна зробити заміну змінних, і використовувати стандартні квадратури. (див. Заміна змінних)

Формули основних квадратурРедагувати

В наступній таблиці наведено найпоширеніші варіанти ваг і відповідних поліномів та інтервалів інтегрування

Інтервал ω(x) Ортогональні поліноми Дивіться...
[−1, 1]   Поліноми Лежандра Квадратури Гауса-Лежандра
(−1, 1)   Поліноми Чебишова (першого роду) Квадратури Гауса-Чебишова
[−1, 1]   Поліноми Чебишова (другого роду) Квадратури Гауса-Чебишова
(−1, 1)   Поліноми Якобі Квадратури Гауса-Якобі
[0, ∞)   Поліноми Лаґерра Квадратури Гауса-Лаґерра
[0, ∞)   Узагальнені поліноми Лаґерра Квадратури Гауса-Лаґерра
(−∞, ∞)   Поліноми Ерміта Квадратури Гауса-Ерміта

Квадратури Гауса-ЛежандраРедагувати

Один з найпоширеніших випадків, коли  , тоді для знаходження вузлів і ваг використовують поліноми Лежандра Pn(x), а метод також називають квадратурою Гауса–Лежандра. Вузли знаходять, як корені поліномів Pn(x). Аналітичного співвідношення для них немає, а для вагових коефіцієнтів n-го порядку формула має вигляд:

 

Значення для деяких квадратур низького порядку наведено в таблиці:

Кількість вузлів, n Точні значення Заокруглені значення
Вузли, xi Ваги, wi Вузли, xi Ваги, wi
1     0 2
2     ±0.57735027 1
3     0 0.88888889
    ±0.77459667 0.55555556
4     ±0.33998104 0.65214515
    ±0.86113631 0.34785485
5 0   0 0.56888889
    ±0.53846931 0.47862867
    ±0.90617985 0.23692689

Квадратури Гауса-ЧебишоваРедагувати

Для обчислення інтегралів на проміжку [-1;1] у випадку вагової функції   використовують поліноми Чебишова першого роду Tn, вузли і ваги будуть задані співвідношеннями:

 
 

Коли ж   використовують поліноми Чебишова другого роду Un, а вузли і ваги можна знайти із співвідношень:

 
 

Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:

Кількість вузлів, n поліноми першого роду поліноми другого роду
Вузли, xi Ваги, wi Вузли, xi Ваги, wi
1 0   0  
2        
3 0   0  
     
4        
     
5 0   0  
     
     

Квадратури Гауса-ЯкобіРедагувати

Для вагової функції   де α і β > −1 використовують поліноми Якобі Pn(α,β)(x). В такому разі, вагові коефіцієнти можна знайти із співвідношення:

 

Квадратури Гауса-ЛаґерраРедагувати

Щоб порахувати інтеграл   можна скористатись поліномами Лаґерра Ln. Вузли будуть коренями полінома Ln, а ваги задані формулою:

 

В більш загальному випадку   використовують узагальнені поліноми Лаґерра Ln(α)

Квадратури Гауса-ЕрмітаРедагувати

Для обчислення інтегралу   вузли квадратури xi шукають як розв'язки поліномів Ерміта(фізичної версії) Hn(x) а відповідні ваги wi можна знайти:

 


Формули дяких модифікованих квадратурРедагувати

Окрім різних вагових функцій і інтервалів інтегрування, для знаходження вузлів і ваг можуть накладатись і інші додаткові умови.

Квадратури Гауса-РадауРедагувати

Квадратурою Гауса-Радау (або квадратура Радау) називають таку n точкову квадратуру, яка точна для поліномів порядку не вище 2n-3, але початкова точка інтервалу інтегрування включена в список вузлів квадратури, тоді як визначається решта n-1 вузол. Формула для інтегралу на проміжку [-1;1] з 1-ою ваговою функцією представляється у вигляді:

 

Невідомі вузли xi для i = 2,…,n є коренями полінома  , де Pk, k-ий поліном Лежандра.

Вага для першого вузла  , решта визначаються за формулою:

 

Залишковий член:

 

Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:

Кількість вузлів, n Точні значення Заокруглені значення
Вузли, xi Ваги, wi Вузли, xi Ваги, wi
2     -1 0.5
    0.33333333 1.6
3     -1 0.22222222
    -0.28989795 1.02497165
    0.68989795 0.75280613
4 -1 0.125
-0.575319 0.657689
0.181066 0.776387
0.822824 0.440924
5 -1 0.08
-0.72048 0.446208
-0.167181 0.623653
0.446314 0.562712
0.885792 0.287427

Квадратури Гауса-ЛобаттоРедагувати

Також відомі як квадратури Лобатто, названі в честь нідерландського математика Рехюла Лобатто. Це такі n точкові квадратури, які точні для поліномів порядку не вище 2n-3, але початкова і кінцева точки інтервалу інтегрування включена в список вузлів квадратури, тоді як визначається решта n-2 вузли. Формула для інтегралу на проміжку [-1;1] з 1-ою ваговою функцією:

 

Вузли xi для i = 2,…,n-1 є i-1-и коренями полінома P'n-1.

Перша і остання ваги   а решта:

 

Залишок у вигляді:

 

Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:

Кількість вузлів, n Точні значення Заокруглені значення
Вузли, xi Ваги, wi Вузли, xi Ваги, wi
      0 1.33333333
    ±1 0.33333333
      ±0.44721360 0.83333333
    ±1 0.16666667
      0 0.71111111
    0.65465367 0.54444444
    ±1 0.1
      0.28523151 0.55485838
    0.76505532 0.37847496
    ±1 0.06666667

Квадратури Гауса-КронродаРедагувати

Зміна інтервалу інтегруванняРедагувати

Перш ніж застосувати квадратуру до інтегралу на відрізку [a, b] він має бути трансформований в інтеграл на відрізку [−1, 1]. Для цього можна здійснити перетворення координат наступним чином:

 

Застосувавши квадратуру Гауса отримаємо наступну апроксимацію:

 


Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Цегелик Г. Г. Чисельні методи. — Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2004.