Зірчатий многокутник
Зірчатий багатокутник, також зірчастий багатокутник, або зірчастий многокутник — це многокутник, у якого всі сторони і кути рівні, а вершини збігаються з вершинами правильного багатокутника. Сторони зірчастого багатокутника можуть перетинатися між собою. Існує безліч зірчастих многокутників або зірок, серед них пентаграма, гексаграмма, дві гептаграми, октаграма, декаграма, додекаграма[en]. Зірчасті багатокутники можна отримати за допомогою одночасного продовження всіх сторін правильного багатокутника після їх перетину в його вершинах до їх наступного перетину в точках, які і є вершинами зірчастого багатокутника. Отриманий зірчатий багатокутник буде зірчастої формою правильного багатокутника, з якого він отриманий. Вершинами зірчастого многокутника будуть вважатися тільки ті точки, в яких сходяться сторони цього багатокутника, але не точки перетину цих сторін; зірчаста форма даного багатокутника має стільки ж вершин, скільки він сам. Вказану дію неможливо виконати з правильним трикутником і квадратом, так як після продовження їхніх сторін, вони більше не перетинаються; серед правильних багатокутників зірчасті форми мають тільки багатокутники з числом сторін більше чотирьох. Зірчастою формою правильного п'ятикутника (пентагона) є пентаграма.
Зірки можуть бути не розірвано єдиними багатокутниками, не будучи сполуками інших правильних або зірчастих многокутників (як у випадку з пентаграмою), а можуть бути такими сполуками, прикладом чого може служити зірчаста форма шестикутника — гексаграма, яка являє собою об'єднання двох трикутників.
У правильного многокутника може бути кілька зірчастих форм, кількість яких залежить від того, скільки разів його сторони перетинаються між собою після їх продовження, прикладом чого є семикутник, має 2 зірчасті форми (два види семипроменевої зірки).
| Кількість вершин правильного багатокутника | Кількість зірчастих форм правильного багатокутника | Кількість не розірваних (сполучних) зоряних багатокутників серед зірчастих форм | Кількість вершин правильного багатокутника, розташованих між двома вершинами зоряного багатокутника |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | 1 | 1 |
| 6 | 1 | 0 | |
| 7 | 2 | 2 | 2; 3 |
| 8 | 2 | 1 | 2 |
| 9 | 3 | 2 | 1; 3 |
| 10 | 3 | 1 | 2 |
| 11 | 4 | 4 | 1; 2; 3; 4 |
| 12 | 4 | 1 | 4 |
Пурпурні — опуклі багатокутники.
Зелені — зв'язкові зірки {n / m} (де n і m взаємно прості числа).
Чорні — НЕ зв'язкові зірки {n / m} (де n і m НЕ взаємно прості числа).
Сині прямі з'єднують багатокутник (опуклий або зв'язну зірку) зі всіма не зв'язковими зірками, які є сполуками (після повороту) різної кількості однакових багатокутників, таких же як початкові.
Див. також ред.
Посилання ред.
- М. Веннинджер. [1] — Москва : Мир, 1974. Архівовано з джерела 11 жовтня 2020(рос.)