Знижування порядку

Знижування порядку — техніка в математиці призначена для розв'язання лінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. Її використовують коли відомий один розв'язок $y_{1}(x)$ і необхідно знайти другий лінійно незалежний розв'язок $y_{2}(x)$. Цей метод також застосовують для рівнянь n-го порядку. В цьому випадку анзац породить рівняння (n-1)-го порядку для $v$.

Звичайні диференціальні рівняння другого порядку

Приклад

Розглянемо загальне однорідне другого порядку з коефіцієнтами-сталими ЗДР

$ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0,\;$

де $a,b,c$ є дійсними ненульовими коефіцієнтами, також припустимо, що його характеристичним рівняння

$a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0\;$

має повторювані корені(тобто дискримінант, $b^{2}-4ac$ дорівнює нулю). Отже маємо

$\lambda _{1}=\lambda _{2}=-{\frac {b}{2a}}.$

Відтак нашим розв'язком для ЗДР є

$y_{1}(x)=e^{-{\frac {b}{2a}}x}.$

Для віднайдення другого розв'язку ми робимо припущення, що

$y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x)\;$

де $v(x)$ це невідома функція, яку ми маємо визначити. З того, що $y_{2}(x)$ повинно задовольняти оригінальному ЗДР, ми підставляємо його назад, щоб отримати

$a\left(v''y_{1}+2v'y_{1}'+vy_{1}''\right)+b\left(v'y_{1}+vy_{1}'\right)+cvy_{1}=0.$

Перелаштувавши це рівняння в термінах похідних від $v(x)$ отримуємо

$\left(ay_{1}\right)v''+\left(2ay_{1}'+by_{1}\right)v'+\left(ay_{1}''+by_{1}'+cy_{1}\right)v=0.$

Оскільки ми знаємо, що $y_{1}(x)$ є розв'язком початкової проблеми, коефіцієнт останнього доданку дорівнює нулю. Далі більше, підставив $y_{1}(x)$ в коефіцієнт другого доданку маємо

$2a\left(-{\frac {b}{2a}}e^{-{\frac {b}{2a}}x}\right)+be^{-{\frac {b}{2a}}x}=\left(-b+b\right)e^{-{\frac {b}{2a}}x}=0.$

Отже ми залишилися з

$ay_{1}v''=0.\;$

З того, що ми припустили, що $a\neq 0$ і $y_{1}(x)$ є показниковою функцією і тому ніколи не стає нулем ми просто маємо, що

$v''=0.\;$

Інтегруємо це двічі, щоб отримати

$v(x)=c_{1}x+c_{2}\;$

де $c_{1},c_{2}$ є сталими інтегрування. Тепер ми можемо наш другий розв'язок як

$y_{2}(x)=(c_{1}x+c_{2})y_{1}(x)=c_{1}xy_{1}(x)+c_{2}y_{1}(x).\;$

З того, що другий доданок у $y_{2}(x)$ є скалярним кратним першого розв'язку (і отже лінійно залежним) ми можемо опустити його і отримати кінцевий розв'язок

$y_{2}(x)=xy_{1}(x)=xe^{-{\frac {b}{2a}}x}.$

Насамкінець, ми можемо довести, що другий розв'язок $y_{2}(x)$, який ми знайшли цим способом, є лінійно незалежним із першим розв'язком через визначник Вронського

$W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}&xy_{1}\\y_{1}'&y_{1}+xy_{1}'\end{vmatrix}}=y_{1}(y_{1}+xy_{1}')-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}+xy_{1}y_{1}'-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}=e^{-{\frac {b}{a}}x}\neq 0.$

Отже $y_{2}(x)$ є другим лінійно незалежним розв'язком, який ми й шукали.

Загальний метод

Нехай задане неоднорідне лінійне диференціальне рівняння

$y''+p(t)y'+q(t)y=r(t)\,$

і один розв'язок $y_{1}(t)$ однорідного рівняння [$r(t)=0$], знайдемо розв'язок повного неоднорідного рівняння у формі:

$y_{2}=v(t)y_{1}(t)\,$

де $v(t)$ є довільною функцією. Отже

$y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)\,$

і

$y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t).\,$

Якщо підставити ці результати для $y$, $y'$ і $y''$ в диференціальне рівняння, тоді

$y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=r(t).$

З того, що $y_{1}(t)$ є розв'язком початкового однорідного диференціального рівняння, $y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0$, тобто ми можемо зменшити до

$y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=r(t)$

це рівняння є рівнянням першого порядку щодо $v'(t)$ (знижування порядку). Ділимо на $y_{1}(t)$, отримуємо

$v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'={\frac {r(t)}{y_{1}(t)}}$.

Інтегрувальний множник: $\mu (t)=e^{\int ({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t))dt}=y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt}$.

Множачи диференціальне рівняння на інтегрувальний множник $\mu (t)$, рівняння для $v(t)$ можна звести до

${\frac {d}{dt}}(v'(t)y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt})=y_{1}(t)r(t)e^{\int p(t)dt}$.

Після інтегрування останнього рівняння, ми знаходимо $v'(t)$, яка містить одну сталу інтегрування. тоді інтегруємо $v'(t)$ для віднайдення повного розв'язку початкового неоднорідного рівняння другого порядку, з двома сталими інтегрування як і повинно бути:

$y_{2}(t)=v(t)y_{1}(t)\,$.

Посилання

Weisstein, Eric W. Другий розв'язок звичайного диференційного рівняння другого порядку(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.