Мішаний добуток

Мішаний добуток $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ векторів $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ — скалярний добуток вектора $\mathbf {a}$ на векторний добуток векторів $\mathbf {b}$ і $\mathbf {c}$:

Мішаний добуток
Досліджується в	векторне числення
Формула	$({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}})={\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})$
Позначення у формулі	$({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}})$, ${\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}$ і ${\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)$.

Інколи його називають потрійним скалярним добутком векторів, вочевидь через те, що результатом є скаляр (точніше — псевдоскаляр).

Властивості

• Змішаний добуток кососиметричний по відношенню до всіх своїх аргументів:

$(\ \mathbf {a} ,\ \mathbf {b} ,\ \mathbf {c} )=(\ \mathbf {b} ,\ \mathbf {c} ,\ \mathbf {a} )=(\ \mathbf {c} ,\ \mathbf {a} ,\ \mathbf {b} )=-(\ \mathbf {b} ,\ \mathbf {a} ,\ \mathbf {c} )=-(\ \mathbf {c} ,\ \mathbf {b} ,\ \mathbf {a} )=-(\ \mathbf {a} ,\ \mathbf {c} ,\ \mathbf {b} );$

т. тобто перестановка будь-яких двох співмножників міняє знак добутку. Звідси випливає, що

$\ \langle \ \mathbf {a} ,[\ \mathbf {b} ,\ \mathbf {c} ]\ \rangle =\ \langle [\ \mathbf {a} ,\ \mathbf {b} ],\ \mathbf {c} \ \rangle$

• Змішаний добуток $(\ \mathbf {a} ,\ \mathbf {b} ,\ \mathbf {c} )$ в правій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів $\ \mathbf {a} ,\ \mathbf {b}$ та $\ \mathbf {c}$:

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.$

• Змішаний добуток$(\ \mathbf {a} ,\ \mathbf {b} ,\ \mathbf {c} )$ в лівій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів $\ \mathbf {a} ,\ \mathbf {b}$ та $\ \mathbf {c}$, взятому зі знаком «мінус»:

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=-{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.$

зокрема,

• Якщо якісь два вектори колінеарні, то з будь-яким третім вектором вони утворюють мішаний добуток, що дорівнює нулю.
• Якщо три вектори лінійно залежні (т. тобто компланарні, лежать в одній площині), то їх мішаний добуток дорівнює нулю.
• Геометричний сенс — мішаний добуток $(\ \mathbf {a} ,\ \mathbf {b} ,\ \mathbf {c} )$ за абсолютним значенням дорівнює об'єму паралелепіпеда (див. малюнок), утвореного векторами $\ \mathbf {a} ,\ \mathbf {b}$ та $\ \mathbf {c}$; знак залежить від того, чи є ця трійка векторів права або ліва.
• Квадрат змішаного добутку векторів дорівнює визначнику Грама, що визначається ними^:215.

Три вектора, що визначають паралелепіпед.

• Змішаний добуток зручно записується за допомогою символу (тензора) Леві-Чивіти:

$(\mathbf {a} ,\ \mathbf {b} ,\ \mathbf {c} )=\ \sum _{i,j,k}\ \varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}$

(в останній формулі в ортонормированном базисі всі індекси можна писати нижніми; в цьому випадку ця формула абсолютно прямо повторює формулу з визначником, правда, при цьому автоматично виходить множник (-1) для лівих базисів).

Тлумачення

Мішаний добуток не є принципово новим математичним поняттям, оскільки процедура його обчислення зводиться до послідовного знаходження скалярного та векторного добутків. Попри це, вивчення мішаного добутку як окремого математичного об'єкта є дуже доцільним, оскільки він часто зустрічається при розгляді різноманітних задач і має низку властивостей, що спрощують їх розв'язання.

Потрійний векторний добуток

Потрійний векторний добуток — векторним добутком одного вектора із векторним добутком двох інших. Має місце така формула:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\equiv \mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$.