Задача трьох тіл

Зада́ча трьох тіл — класична задача небесної механіки, у якій потрібно знайти траєкторії трьох тіл, що притягуються за законом всесвітнього тяжіння. Окремий випадок задачі N тіл.

Приблизні траєкторії трьох ідентичних тіл, розташованих у вершинах рівнобічного трикутника, якби вони не мали жодної початкової швидкості

ФормулюванняРедагувати

Уперше сформульована Ісааком Ньютоном 1687 року в «Математичних началах натуральної філософії» (лат. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica) як задача про рух Місяця в гравітаційному полі Сонця та Землі. Класичного вигляду набула в працях французького математика Жана д'Аламбера (фр. Problème des Trois Corps) 1747 року.

У загальнішому випадку йдеться про будь-які три об'єкти, що перебувають у центральному потенціальному полі одне одного (гравітаційному, електромагнітному тощо).

ФормалізаціяРедагувати

 
Рух трьох матеріальних точок у тривимірному просторі під впливом гравітаційного поля.

У будь-який момент часу рух трьох матеріальних точок із масами   та координатами   задовольняє системі звичайних диференціальних рівнянь другого порядку:

 

 

 

де   — гравітаційна стала. Задача полягає в віднаходженні координат трьох матеріальних точок із відомими початковими масами, координатами та швидкостями в будь-який момент часу.

Історія розв'язанняРедагувати

У загальному випадку точного розв'язку за допомогою інтегралів не існує[1][2]. Проблема полягає в принциповій неможливості розв'язати диференціальне рівняння 6-го порядку з нерозділеними змінними.

Для окремих випадків знайдено точний розв'язок: Леонардом Ейлером (для колінеарного розташування точок) та Жозефом-Луї Лагранжем (для так званих трикутних точок Лагранжа).

1912 року фінський математик Карл Зундман знайшов аналітичний розв'язок загальної задачі у вигляді збіжного ряду[3]. Але цей розв'язок не є практичним, адже ряд збігається надзвичайно повільно (для застосування в астрономії необхідно обчислити більше   членів ряду[4])[1].

Моделюванням задачі за допомогою чисельних методів знайдено деякі інші часткові розв'язки[5][6].

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  1. а б Florin Diacu (1996). The solution of the n-body Problem. The Mathematical Intelligencer 18 (3): 249–272. Архів оригіналу за 4 березня 2016. Процитовано 4 грудня 2015.  (англ.)
  2. Poincaré, H. (1967). New Methods of Celestial Mechanics, 3 vols. (English trans.). American Institute of Physics. ISBN 1-56396-117-2. 
  3. K. Sundman (1912). Mémoire sur le problème des trois corps. Acta Mathematica 36: 105–179. doi:10.1007/BF02422379.  (фр.)
  4. D. Beloriszky (1930). Application pratique des méthodes de M. Sundman à un cas particulier du problème des trois corps. Bulletin Astronomique. 2 6: 417–434. Архів оригіналу за 22 грудня 2015. Процитовано 17 грудня 2015.  (фр.)
  5. Hénon M. (1976). Celestial Mechanics 13: 267. doi:10.1007/BF01228647. 
  6. Дмитрий Трунин (12 Окт. 2017 17:39). В задаче трех тел обнаружили более шестисот периодических траекторий. N+1. Архів оригіналу за 7 листопада 2018. Процитовано 6 листопада 2018. 

ЛітератураРедагувати

ПосиланняРедагувати