Інтеграл руху

Терміном інтегра́л ру́ху в фізиці позначається будь-яка функція змінних фізичної системи, що зберігається при її еволюції з часом.

Застосування

Знаючи інтеграли руху, а для багатьох систем їх легко отримати із законів збереження і міркувань симетрії, можна спростити інтегрування рівнянь руху. В найуспішніших випадках траєкторії руху є перетином ізоповерхонь відповідних інтегралів руху. Наприклад, побудова Пуансо показує, що без крутного моменту обертання абсолютно твердого тіла є перетином сфери (закон збереження повного кутового моменту) і еліпсоїда (збереження енергії), траєкторію, яку важко вивести і візуалізувати. Тому знаходження інтегралів руху — зручний і важливий метод механіки.

Приклади

Для замкнених консервативних систем у механіці інтегралами руху є повна енергія, сумарний імпульс усіх частинок, повний момент імпульсу.

Властивості

Кожна конкретна фізична система має свої інтеграли руху.

Будь-яка функція, що залежить лише від інтегралів руху фізичної системи, теж є інтегралом руху.

У квантовій механіці оператори інтегралів руху комутують із гамільтоніаном, а отже хвильову функцію системи можна вибрати так, щоб вона водночас була власною функцією оператора інтеграла руху.

Етимологія

Слово інтеграл за своїм латинським походженням значить цілий, цілісний.

Методи знаходження інтегралів руху

Існує кілька загальних і зручних методів знаходження інтегралів руху:

• Найпростіший, але й найменш строгий метод полягає в інтуїтивному підході, часто заснованому на експериментальних даних і подальшому математичному доказі збереження величини.
• Рівняння Гамільтона-Якобі пропонує строгий і прямий метод знаходження інтегралів руху, особливо якщо функція Гамільтона має знайому функціональну форму в ортогональних координатах.
• Інший підхід полягає в зіставленні величини, що зберігається, і якоїсь симетрії функції Лагранжа. Теорема Нетер дає систематичний спосіб виведення таких величин із симетрій. Наприклад, закон збереження енергії є результатом того, що функція Лагранжа не змінюється при зміні точки відліку часу (однорідність часу), закон збереження імпульсу еквівалентний інваріантності функції Лагранжа щодо зміни положення початку системи відліку в просторі (трансляційна симетрія) і закон збереження моменту імпульсу виходить з ізотропності простору (функція Лагранжа не міняється при поворотах системи координат). Зворотне теж вірно: кожна симетрія функції Лагранжа відповідає інтергралу руху.
• Величина A зберігається якщо вона не залежить явним чином від часу і її дужки Пуасона з функцією Гамільтона системи дорівнюють нулю

${\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+\{A,H\}$

Інший корисний результат відомий як теорема Пуассона, в якій стверджується, що якщо є два інтеграли руху A і B, то дужки Пуасона {A,B} цих двох величин теж є інтегралом руху.

Система з n ступенями вільності й n інтегралами руху, такими, що дужки Пуасона будь-якої пари інтегралів дорівнюють нулю відома як повністю інтегрована система. Такий набір інтегралів руху, як кажуть, знаходиться в інволюції один з одним.

Див. також

• Адіабатичний інваріант

Джерела

• А. М. Федорченко. Теоретична механіка. Київ: «Вища школа», 1975, 516 с.