Екзотична сфера

Екзотична сфера — гладкий многовид М, що гомеоморфний, але не дифеоморфний стандартній n-сфері.

Історія

Перші приклади екзотичних сфер були побудовані Джоном Мілнором в розмірності 7; він довів, що на $S^{7}$ існує як мінімум 7 різних гладких структур. Тепер відомо, що $S^{7}$ має 28 гладких структур.

Ці приклади, так звані сфери Мілнора, були знайдені серед просторів $S^{3}$-розшарувань над $S^{4}$. Такі розшарування класифікуються двома цілими числами $a$ і $b$ — елементом $\mathbb {Z} ^{2}=\pi _{3}(\mathrm {SO} (4))$. Деякі з цих розшарувань $M_{a,b}$ гомеоморфні стандартній сфері, і при цьому не дифеоморфні їй.

Оскільки $M_{a,b}$ одинзв'язні, згідно узагальненої гіпотези Пуанкаре, перевірка гомеоморфності $M_{a,b}$ і $S^{7}$ зводиться до підрахунку гомологій $M_{a,b}$; ця умова накладає певні умови на $a$ і $b$.

У доведенні недифеоморфності Мілнор міркує від противного. Він зауважує, що многовид $M_{a,b}$ є межею 8-вимірного многовиду — простору $W_{a,b}$ розшарування диска $D^{4}$ над $S^{4}$. Далі, якщо $M_{a,b}$ дифеоморфний стандартній сфері, то $W_{a,b}$ можна заклеїти кулею, отримавши замкнутий гладкий 8-вимірний многовид. Підрахунок сигнатури отриманого многовиду через його числа Понтрягіна призводить до протиріччя.

Див. також

• Теорія Серфа