Диференційовна функція

Функція однієї чи кількох дійсних змінних називається диференційовною в точці, якщо в деякому околі цієї точки вона в певному сенсі досить добре наближається деякою лінійною функцією (відображенням). Дане лінійне відображення називається диференціалом функції в цій точці.

Приклад диференційовної функції

Якщо функція є диференційовною в кожній точці деякої множини, то вона називається диференційовною на цій множині.

У випадку функцій однієї змінної умова диференційовності еквівалентна умові існування похідної.

Функції однієї змінної

Нехай функція $y=f(x)$ визначена в деякому околі точки $x_{0}$ і нехай $\Delta x=x-x_{0}$. Функція $f$ називається диференційовною в точці $x_{0}$ (англ. differentiable), якщо приріст $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ можна представити у вигляді:

$\Delta y=A\Delta x+\alpha (\Delta x)$.

де:

$A$ — стала. При фіксованій $x_{0}$ A не залежить від $\Delta x$; але коли відбувається зміна $x_{0}$, A змінюється також,

$\alpha (\Delta x)=o(\Delta x)$ при $x\to 0$.

Лінійна функція $A\Delta x$ (від $\Delta x$) називається диференціалом функції в точці $x_{0}$ і позначається $df(x_{0})$, або, коротше $dy$.

Таким чином:

$\Delta y=dy+o(\Delta x)$ при $\Delta x\to 0$,

$dy=A\Delta x$.

Властивості

Для того, аби функція $f$ була диференційовна в деякій точці $x_{0}$, необхідно і достатньо щоб вона мала похідну в цій точці, при чому, в цьому випадку:

$dy=f'(x_{0})dx$.

Якщо функція диференційовна в деякій точці, то вона також є неперервною в цій точці.

Функції багатьох змінних

Відображення $f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ називається диференційовним в точці $x_{0}$ якщо існує лінійне відображення $A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$, що залежить від точки $x_{0}$, таке що

$f(x)=f(x_{0})+A(x-x_{0})+o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0},$

або

$\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {\|f(x)-f(x_{0})-A(x-x_{0})\|}{\|x-x_{0}\|}}=0$.

Лінійне відображення $A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ називається диференціалом відображення $f(x)$ в точці $x_{0}$.

Якщо відображення $f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ задано за допомогою функцій

$f_{i}\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ \quad i=1,\ldots ,m,$

то матриця диференціала $A$ — це матриця Якобі, елементи якої рівні частковим похідним $\mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}.$

Зв'язок між диференційовністю і частковими похідними

На відміну від функцій однієї змінної де диференційовність еквівалентна існуванню похідної, у випадку багатьох змінних залежність з частковими похідними трохи складніша. Справедливими є наступні твердження.

• Якщо функція диференційовна в точці, то всі її часткові похідні і більш загально похідні за напрямком існують в цій точці.
• Зворотнє твердження невірне. Прикладом може бути функція

$f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}$

для якої в точці (0, 0) існують похідні за всіма напрямками, зокрема і часткові похідні, але в цій точці функція не є диференційовною.

• Якщо всі часткові похідні в точці існують і додатково є в ній неперервними то функція є диференційовною.
• Умова неперервності часткових похідних не є необхідною для диференційовності. Наприклад у функції нижче обидві часткові похідні не є неперервні в точці (0, 0) але вона є диференційовною в цій точці

$f(x,y)={\begin{cases}(x^{2}+y^{2})\sin \left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}$

Див. також

• Похідна
• Інтегровна функція
• Часткова похідна
• Похідна за напрямком
• Точка зламу

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Кудрявцев Л. Д. Математический анализ, т. 1. с. 124—127.