Група Матьє

Групи Матьє — це п'ять спорадичних простих груп, M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃ і M₂₄, які ввів Еміль Леонар Матьє. Групи є кратно транзитивними групами перестановок 11, 12, 22, 23 чи 24 об'єктів. Перші відкриті спорадичні групи.

Іноді використовують позначення M₉, M₁₀, M₂₀ і M₂₁ для пов'язаних груп (які діють на множинах із 9, 10, 20 і 21 точками, відповідно), а саме стабілізаторів точок у великих групах. Хоча це не спорадичні прості групи, вони є підгрупами великих груп і можуть бути використані для їх побудови. Джон Конвей показав, що можна продовжити цю послідовність, отримуючи групоїд Матьє M₁₃, що діє на 13 точок. M₂₁ — проста, але не спорадична група, оскільки є ізоморфною PSL(3,4).

Історія

Матьє ввів групу M₁₂ як частину дослідження кратно транзитивних груп перестановок і коротко згадав (на стор. 274) групу M₂₄, вказавши її порядок. У статті 1873 року він навів додаткові деталі, включаючи явні породжувальні множини для цих груп, але групу нелегко побачити з його аргументів, що згенеровані групи не просто знакозмінні групи, і кілька років існування груп було під сумнівом. Міллер навіть опублікував статтю з хибним доведенням, що M₂₄ не існує, хоча незабаром після цього у статті 1900 року він визнав, що доведення мало помилки, і дав доведення, що групи Матьє прості. Вітт нарешті припинив сумніви про існування цих груп, побудувавши їх, як послідовні транзитивні розширення груп перестановок, а також як групи автоморфізмів систем Штейнера.

Після груп Матьє нових спорадичних груп не виявляли до 1965 року, коли було відкрито групу J₁.

Кратно транзитивні групи

Матьє цікавився пошуком кратно транзитивних груп перестановок. Для натурального числа k група перестановок G, яка діє на n точок, є k-транзитивною, якщо при заданні двох множин точок a₁, … a_k і b₁, … b_k зі властивістю, що всі a_i різні й всі b_i різні, існує елемент g групи G, який відображає a_i в b_і для всіх i від 1 до k. Така група називається гостро k-транзитивною, якщо елемент g єдиний (тобто дія на k-кортежі регулярна (строго транзитивна), а не просто транзитивна).

Група M₂₄ 5-транзитивна, а група M₁₂ — гостро 5-транзитивна. Інші групи Матьє (прості та не прості), як підгрупи, що відповідають стабілізаторам m точок, мають нижчу транзитивність (M₂₃ 4-транзитивна, і т. д.).

4-транзитивними групами є тільки симетричні групи S_k для $k\geqslant 4$, знакозмінні групи Ak для $k\geqslant 6$, і групи Матьє M₂₄, M₂₃, M₁₂ та M₁₁.

Класичним результатом є результат Жордана, що тільки симетрична та знакозмінні групи (степенів k і k + 2 відповідно), а також M₁₂ і M₁₁ є гостро k-транзитивними групами перестановок для $k\geqslant 4$.

Важливими прикладами кратно транзитивних груп є 2-транзитивні групи та групи Цассенгауса. Останні, зокрема, включають проєктивну загальну лінійну групу проєктивної прямої над скінченним полем, PGL(2,F_q), яка є гостро 3-транзитивною (див. Подвійне відношення) на $q+1$ елементах.

Таблиця порядків та транзитивності

Група	Порядок	Порядок (добуток)	Розклад порядку	Транзитивність	Проста	Спорадична
M24	244823040	3•16•20•21•22•23•24	210•33•5•7•11•23	5-транзитивна	так	спорадична
M23	10200960	3•16•20•21•22•23	27•32•5•7•11•23	4-транзитивна	так	спорадична
M22	443520	3•16•20•21•22	27•32•5•7•11	3-транзитивна	так	спорадична
M21	20160	3•16•20•21	26•32•5•7	2-транзитивна	так	≈ PSL3(4)
M20	960	3•16•20	26•3•5	1-транзитивна	ні
M12	95040	8•9•10•11•12	26•33•5•11	гостро 5-транзитивна	так	спорадична
M11	7920	8•9•10•11	24•32•5•11	гостро 4-транзитивна	так	спорадична
M10	720	8•9•10	24•32•5	гостро 3-транзитивна	почти	M10' ≈ Alt6
M9	72	8•9	23•32	гостро 2-транзитивна	ні	≈ PSU3(2)
M8	8	8	23	гостро 1-транзитивна (регулярна)	ні	≈ Q

Побудова груп Матьє

Групи Матьє можна побудувати різними способами.

Групи перестановок

M₁₂ має просту підгрупу порядку 660, максимальну підгрупу. Ця підгрупа ізоморфна проєктивній спеціальній лінійній групі PSL₂(F₁₁) над полем із 11 елементів. Якщо −1 позначити як a, а нескінченність як b, двома стандартними генераторами є перестановки (0123456789a) та (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Третій генератор, що дає M₁₂, переводить елемент x групи F₁₁ у $4x^{2}-3x^{7}$, як за перестановки (26a7)(3945).

Ця група виявляється не ізоморфною жодному з членів нескінченних сімейств скінченних простих груп і називається спорадичною. M₁₁ є стабілізатором точки M₁₂ і теж виявляється спорадичною простою групою. M₁₀, стабілізатор двох точок, не є спорадичною, але є майже простою групою, комутант якої — знакозмінна група A₆. Вона пов'язана з винятковим зовнішнім автоморфізмом групи A₆. Стабілізатор 3 точок — проєктивна спеціальна унітарна група PSU(3,2²), яка є розв'язною. Стабілізатор 4 точок — група кватерніонів.

Подібно, M₂₄ має максимальну просту підгрупу порядку 6072, ізоморфну PSL₂(F₂₃). Один генератор додає 1 кожному елементи поля (залишаючи точку N на нескінченності нерухомою), тобто перестановка (0123456789ABCDEFGHIJKLM)(N), а інший є перестановкою, що обертає порядок, (0N)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Третій генератор, що дає M₂₄ переводить елемент x групи F₂₃ в $4x^{4}-3x^{15}$. Обчислення показують, що це перестановка (2G968)(3CDI4) (7HABM)(EJLKF).

Стабілізатори 1 і 2 точок, M₂₃ і M₂₂, також виявляються простими спорадичними групами. Стабілізатор 3 точок є простою групою та ізоморфний проєктивній спеціальній лінійній групі PSL₃(4).

Ці побудови процитував Кармайкл. Діксон і Мортімер приписують перестановки Емілю Матьє.

Групи автоморфізмів систем Штейнера

Існує з точністю до еквівалентності єдина S(5,8,24) система Штейнера W₂₄ (схема Вітта). Група M₂₄ є групою автоморфізмів цієї системи Штейнера, тобто множина перестановок, які відображають кожен блок у деякий інший блок. Підгрупи M₂₃ та M₂₂ визначаються як стабілізатори однієї точки та двох точок відповідно.

Подібним чином, існує з точністю до еквівалентності єдина S(5,6,12) система Штейнера W₁₂, а група M₁₂ є її групою автоморфізмів. Підгрупа M₁₁ є стабілізатором точки.

W₁₂ можна побудувати з афінної геометрії на векторному просторі F₃×F₃ системи S(2,3,9).

Альтернативна побудова W₁₂ — «кошеня» Кертіса.

Вступ до побудови W₂₄ за допомогою чудового генератора октад Р. Т. Кертіса та аналога для W₁₂ (miniMOG) Конвея можна знайти в книзі Конвея і Слоуна.

Групи автоморфізмів кодів Голея

Група M₂₄ є групою автоморфізмів перестановок розширеного двійкового коду Голея W, тобто групи перестановок 24 координат, що відображають W в себе. Усі групи Матьє можна побудувати як групи перестановок двійкових кодів Голея.

M₁₂ має у своїй групі автоморфізмів індекс 2, а M₁₂:2 виявляється ізоморфною підгрупою групи M₂₄. M₁₂ є стабілізатором коду з 12 одиниць. M₁₂:2 стабілізує розділення у двох комплементарних кодах з 12 біт.

Існує природний зв'язок між групами Матьє та більшими групами Конвея, оскільки ґратку Ліча побудовано на бінарному коді Голея й обидві групи, фактично, лежать у просторі розмірності 24. Групи Конвея виявлено в Монстрі. Роберт Ґріс називає 20 спорадичних груп, знайдених у Монстрі, щаслива родина, а групи Матьє — перше покоління.

Dessins d'enfants

Групи Матьє можна побудувати за допомогою dessins d'enfants (з фр. — дитячий малюнок), а малюнок, асоційований з M₁₂, ле Брюн назвав «Monsieur Mathieu» (Месьє Матьє).

Література

• Горенстейн Д. Конечные простые группы. — 1985.
• Peter J. Cameron. Permutation Groups. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 45. — (London Mathematical Society Student Texts) — ISBN 978-0-521-65378-7.
• Robert D. Carmichael. Introduction to the theory of groups of finite order. — New York : Dover Publications, 1956. — ISBN 978-0-486-60300-1. Оригинальний рік видання: 1937
• C. Choi. On Subgroups of M₂₄. I: Stabilizers of Subsets // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1972a. — Т. 167 (May). — С. 1–27. — DOI:10.2307/1996123.
• C. Choi. On Subgroups of M₂₄. II: the Maximal Subgroups of M₂₄ // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1972b. — Т. 167 (May). — С. 29–47. — DOI:10.2307/1996124.
• John Horton Conway. Three lectures on exceptional groups // Finite simple groups / M. B. Powell, Graham Higman. — Boston, MA : Academic Press, 1971. — С. 215–247. — (Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, September 1969.) — ISBN 978-0-12-563850-0. Перепечатано в Conway, Sloane, 1999
• John Horton Conway, Richard A. Parker, Simon P. Norton, R. T. Curtis, Robert A. Wilson. Atlas of finite groups. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 978-0-19-853199-9.
• John Horton Conway, Neil J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1999. — Т. 290. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften) — ISBN 978-0-387-98585-5.
• Curtis R. T. A new combinatorial approach to M₂₄ // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79, вип. 1. — С. 25–42. — ISSN 0305-0041. — DOI:10.1017/S0305004100052075.
• Curtis R. T. (1977), The maximal subgroups of M₂₄, т. 81, № 2 (вид. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society), с. 185—192, doi:10.1017/S0305004100053251, ISSN 0305-0041, MR 0439926
• Curtis R. T. The Steiner system S(5, 6, 12), the Mathieu group M₁₂ and the "kitten" // Computational group theory. Proceedings of the London Mathematical Society symposium held in Durham, July 30–August 9, 1982 / Michael D. Atkinson. — Boston, MA : Academic Press, 1984. — С. 353–358. — ISBN 978-0-12-066270-8.
• Hans Cuypers. The Mathieu groups and their geometries. — 1998.
• John D. Dixon, Brian Mortimer. Permutation groups. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1996. — Т. 163. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 978-0-387-94599-6. — DOI:10.1007/978-1-4612-0731-3.
• Ferdinand Georg Frobenius. Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen. — Mouton De Gruyter, 1904. — С. 558–571. — (Berline Berichte) — ISBN 978-3-11-109790-9.
• Robert L. Jr. Griess. Twelve sporadic groups. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1998. — (Springer Monographs in Mathematics) — ISBN 978-3-540-62778-4.
• Émile Mathieu. Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1861. — Т. 6. — С. 241–323.
• Émile Mathieu. Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1873. — Т. 18. — С. 25–46.^{[недоступне посилання з червня 2018]} Язык: Французский
• Miller G. A. On the supposed five-fold transitive function of 24 elements and 19!/48 values. // Messenger of Mathematics. — 1898. — Т. 27. — С. 187–190.
• Miller G. A. Sur plusieurs groupes simples // Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1900. — Т. 28. — С. 266–267.
• Mark Ronan. Symmetry and the Monster. — Oxford, 2006. — ISBN 978-0-19-280722-9. (an introduction for the lay reader, describing the Mathieu groups in a historical context)
• Thomas M. Thompson. From error-correcting codes through sphere packings to simple groups. — Mathematical Association of America, 1983. — Т. 21. — (Carus Mathematical Monographs) — ISBN 978-0-88385-023-7.
• Ernst Witt. über Steinersche Systeme // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — Springer Berlin / Heidelberg, 1938a. — Т. 12. — С. 265–275. — ISSN 0025-5858. — DOI:10.1007/BF02948948.
• Ernst Witt. Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1938b. — Т. 12. — С. 256–264. — DOI:10.1007/BF02948947.
• Lieven le Bruyn. Monsieur Mathieu. — 2007. Архівовано з джерела 1 травня 2010.

Посилання

• ATLAS: Mathieu group M ₁₀ Архівовано травень 14, 2011 на сайті Wayback Machine.
• ATLAS: Mathieu group M ₁₁ Архівовано травень 14, 2011 на сайті Wayback Machine.
• ATLAS: Mathieu group M ₁₂ Архівовано липень 16, 2011 на сайті Wayback Machine.
• ATLAS: Mathieu group M ₂₀ Архівовано липень 16, 2011 на сайті Wayback Machine.
• ATLAS: Mathieu group M ₂₁ Архівовано липень 16, 2011 на сайті Wayback Machine.
• ATLAS: Mathieu group M ₂₂ Архівовано липень 16, 2011 на сайті Wayback Machine.
• ATLAS: Mathieu group M ₂₃ Архівовано липень 16, 2011 на сайті Wayback Machine.
• ATLAS: Mathieu group M ₂₄ Архівовано липень 16, 2011 на сайті Wayback Machine.
• How to Make the Mathieu Group M₂₄. Процитовано 2010-04-15.
• Mathieu group M ₉ на GroupNames

• Scientific American Архівовано вересень 8, 2008 на сайті Wayback Machine.
• Sporadic M12 Архівовано грудень 2, 2017 на сайті Wayback Machine. An iPhone app that implements puzzles based on M ₁₂