У математиці група Гейзенберга (названа на честь Вернера Гейзенберга) — група верхньотрикутних матриць розмірності вигляду

де операція множення визначена як множення матриць. Елементи , і належать довільному комутативному кільцю з одиницею, в якості якого часто обирають кільце дійсних чисел (в результаті отримують неперервну групу Гейзенберга) або ж кільце цілих чисел (в результаті отримують дискретну групу Гейзенберга).

Неперервна група Гейзенберга з'являється в описі одновимірних систем квантової механіки, особливо в контексті теореми Стоуна–фон Неймана[en]. У загальному випадку групи Гейзенберга можна розглядати у зв'язку з -вимірними системами або ж із довільними симплектичними векторними полями.

Тривимірний випадок ред.

У тривимірному випадку добуток двох матриць Гейзенберга визначається як

 

Як можна побачити з члена  , ця група неабелева[en].

Нейтральним елементом (одиницею) групи Гейзенберга є одинична матриця, а обернений визначається наступним чином:

 

Ця група є підгрупою 2-вимірної афінної групи  :

 

дія якої на вектор   відповідає афінному перетворенню

 

Є кілька яскравих прикладів тривимірного випадку.

Неперервна група Гейзенберга ред.

Якщо  ,  ,  дійсні числа (в кільці  ), то маємо неперервну групу Гейзенберга  . Це нільпотентна дійсна група Лі розмірності 3.

Додатково до представлення дійсними   матрицями, неперервна група Гейзенберга має також декілька різних представлень у термінах функціональних просторів[en]. Згідно з теоремою Стоуна–фон Неймана[en], існує єдине, з точністю до ізоморфізму, незвідне унітарне представлення групи  , у якому його центр діє за допомогою заданого нетривіального характеру. Це представлення має декілька важливих застосувань чи моделей. Так, у моделі Шрьодінгера, група Гейзенберга діє на просторі квадратично інтегровних[en] функцій. У тета-представленні[en] вона діє на просторі голоморфних функцій верхньої півплощини; воно назване так на честь зв'язку з тета-функціями.

Дискретна група Гейзенберга ред.

 
Частина графу Келі дискретної групи Гейзенберга, із генераторами  ,  ,   як у тексті. (Кольори використані лише для наочності.)

Якщо  ,  ,  цілі числа (в кільці  ), то маємо дискретну групу Гейзенберга  . Це неабелева[en] нільпотентна група з двома генераторами

 

і

 

і зі співвідношеннями

 

де

 

є генератором центра групи  . (Відмітимо, що обернені до матриць  ,   і   утворюються заміною   над діагоналлю на  ).

Згідно з теоремою Громова (в англомовній літературі — теорема Басса), у цієї групи поліноміальна швидкість зростання порядку 4. Можна генерувати будь-які елементи наступним чином:

 

Група Гейзенберга за модулем непарного простого числа ред.

Якщо  ,  ,   з   для довільного непарного простого  , то отримаємо групу Гейзенберга за модулем  . Це група порядку   із генераторами  ,   та співвідношеннями:

 

Аналоги групи Гейзенберга над скінченними полями простого непарного порядку   називаються додатковою спеціальною групою[en] або ж, більш точно, додатковою спеціальною групою степеня  . Узагальнюючи, якщо похідна підгрупа групи   міститься в центрі   групи  , тоді відображення   є кососиметричним білінійним оператором на абелівських групах.


Однак, умова, щоб   була скінченним векторним простором, вимагає, аби підгрупа Фраттіні групи   належала центру групи. А також умова, аби   був одновимірним векторним простором над   вимагає, щоб порядок центра   дорівнював  . Звідки випливає, що якщо група   неабелева, то   — додаткова спеціальна група. Якщо ж група   — додаткова спеціальна група, але не степеня  , тоді загальна конструкція при застосуванні до симплектичного векторного простору   не визначає груповий ізоморфізм у  .

Група Гейзенберга за модулем 2 ред.

Група Гейзенберга за модулем 2 має порядок 8 й ізоморфна діедральній групі   (група симетрій квадрата). Якщо

 

і

 

тоді

 

і

 

Елементи   і   відповідають віддзеркаленням (з кутом між ними, що дорівнює  ), у той час, як   та   відповідають поворотам на  . Інші віддзеркалення — це   і  , а поворот на   можна представити як    .

Див. також ред.

Література ред.

  • Binz, Ernst; Pods, Sonja (2008). Geometry of Heisenberg Groups. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4495-3.
  • Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, Bibcode:2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158
  • Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics. Т. 222 (вид. second). Springer. ISBN 978-3319134666.
  • Howe, Roger (1980). On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis. Bulletin of the American Mathematical Society. 3 (2): 821—843. doi:10.1090/s0273-0979-1980-14825-9. MR 0578375.
  • Kirillov, Alexandre A. (2004). Ch. 2: "Representations and Orbits of the Heisenberg Group. Lectures on the Orbit Method. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3530-0.
  • Mackey, George (1976). The theory of Unitary Group Representations. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 978-0226500522.

Зовнішні посилання ред.