Граф Мура

вид графів

Граф Мура — регулярний граф степеня і діаметра , число вершин якого дорівнює верхній межі

Еквівалентне визначення графа Мура — це граф діаметра з обхватом . Ще одне еквівалентне визначення графа Мура  — це граф із обхватом , що має рівно циклів довжини , де ,  — число вершин і ребер графа . Графи, фактично, екстремальні щодо числа циклів, довжина яких дорівнює обхвату графа[1].

Алан Гоффман[en] і Роберт Сінглтон[2] назвали граф ім'ям Едварда Мура, який поставив питання опису та класифікації таких графів.

Маючи максимально можливе число вершин для заданої комбінації степеня і діаметра, графи Мура мають мінімально можливе число вершин для регулярних графів із заданими степенем і обхватом. Таким чином, будь-який граф Мура є кліткою[3]. Формулу для числа вершин графа Мура можна узагальнити для можливості визначення графів Мура з парним обхватом, і ці графи знову ж є клітками.

Межі числа вершин за степенем і діаметромРедагувати

 
Граф Петерсена як граф Мура. Будь-яке дерево пошуку в ширину має   вершин у його i-ому рівні.

Нехай   — будь-який граф із найбільшим степенем   і діаметром  , тоді візьмемо дерево, утворене пошуком у ширину, з коренем у вершині  . Це дерево має 1 вершину рівня 0 (сама вершина  ), і максимум   вершин рівня 1 (сусіди вершини  ). На наступному рівні є максимум   вершин — кожен сусід вершини   використовує одне ребро для з'єднання з вершиною  , так що має максимум   сусідів рівня 2. У загальному випадку подібні доводи показують, що на будь-якому рівні   може бути не більше   вершин. Таким чином, загальне число вершин може бути не більшим від

 

Гоффман і Сінглтон[2] спочатку визначили граф Мура як граф, для якого ця межа числа вершин досягається. Таким чином, будь-який граф Мура має максимально можливе число вершин серед усіх графів, у яких степінь не перевершує  , а діаметр —  .

Пізніше Сінглтон[4] показав, що графи Мура можна еквівалентно визначити як граф, що має діаметр   і обхват  . Ці дві вимоги комбінуються, з чого виводиться d-регулярність графа для деякого  .

Графи Мура як кліткиРедагувати

Замість верхньої межі числа вершин у графі в термінах його найбільшого степеня і діаметра ми можемо використовувати нижню межу числа вершин у термінах найменшого степеня і обхвату[3]. Припустимо, що граф   має найменший степінь   і обхват  . Виберемо довільну початкову вершину   і, як і раніше, уявимо дерево пошуку в ширину з коренем у  . Це дерево повинне мати одну вершину рівня 0 (сама вершина  ) і щонайменше   вершин на рівні 1. На рівні 2 (для  ), має бути щонайменше   вершин, оскільки кожна вершина на рівні   має щонайменше ще   зв'язків, і ніякі дві вершини рівня 1 не можуть бути суміжними або мати спільні вершини рівня 2, оскільки утворився б цикл, коротший, ніж обхват. У загальному випадку схожі доводи показують, що на будь-якому рівні   має бути принаймні   вершин. Таким чином, загальне число вершин має бути не менше від

 

У графі Мура це число вершин досягається. Кожен граф Мура має обхват рівно   — він не має достатньо вершин, щоб мати більший обхват, а коротший цикл призвів би до нестачі вершин на перших   рівнях деяких дерев пошуку в ширину. Таким чином, будь-який граф Мура має мінімально можливе число вершин серед усіх графів з мінімальним степенем   і діаметром   — він є кліткою.

Для парного обхвату   можна утворити аналогічне дерево пошуку в ширину, починаючи зі середини одного ребра. Отримуємо межу мінімального числа вершин у графі цього обхвату з мінімальним степенем  

 

Таким чином, до графів Мура іноді відносять графи, на яких ця межа досягається. Знову ж, будь-який такий граф є кліткою.

ПрикладРедагувати

Теорема Гоффмана — Сінглтона стверджує, що будь-який граф Мура з обхватом 5 повинен мати степінь 2, 3, 7 або 57. Графами Мура є:

  • Повні графи   з N > 2 вершинами (діаметр 1, обхват 3, степінь n-1, порядок  ).
  • Непарний цикл   (діаметр  , обхват  , степінь 2, порядок 2n+1).
  • Граф Петерсена (діаметр 2, обхват 5, степінь 3, порядок 10).
  • Граф Гоффмана-Сінглтона (діаметр 2, обхват 5, степінь 7, порядок 50).
  • Гіпотетичний граф з діаметром 2, обхватом 5, степенем 57 і порядком 3250, нині невідомо, чи такий існує.

Хіґман показав, що, на відміну від інших графів Мура, невідомий граф не може бути вершинно-транзитивним. Мачай і Ширан пізніше показали, що порядок автоморфізмів такого графа не перевищує 375.

В узагальненому визначенні графів Мура, де дозволяється парний обхват, графи з парним обхватом відповідають графам інцидентності (можливо вироджених) узагальнених багатокутників. Кілька прикладів — парні цикли  , повні двочасткові графи   з обхватом чотири, граф Хівуда зі степенем 3 і обхватом 6 і граф Татта — Коксетера зі степенем 3 і обхватом 8. Відомо[5][6], що всі графи Мура, крім перерахованих вище, повинні мати обхват 5, 6, 8 або 12. Випадок парного обхвату випливає з теореми Фейта — Хіґмана про можливі значення   для узагальнених n-кутників.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

ЛітератураРедагувати

ПосиланняРедагувати