Обхват (теорія графів)

довжина найкоротшого циклу, що міститься в графі

Обхват в теорії графів — довжина найкоротшого циклу, що міститься в заданому графі[1]. Якщо граф не містить циклів (тобто є ациклічним графом), його обхват за визначенням дорівнює нескінченності[2]. Наприклад, 4-цикл (квадрат) має обхват 4. Квадратна ґратка має також обхват 4, а трикутна сітка має обхват 3. Граф з обхватом чотири і більше не містить трикутників.

КліткиРедагувати

Кубічні графи (всі вершини мають степінь три) з якомога меншим обхватом   відомі як  -клітка (або як (3, )-клітка). Граф Петерсена — це єдина 5-клітка (найменший кубічний граф з обхватом 5), граф Хівуда — це єдина 6-клітка, Граф Маꥳ — це єдина 7-клітка, а граф Татта — Коксетера — це єдина 8-клітка[3]. Може існувати кілька кліток для даного обхвату. Наприклад, існує три неізоморфних 10-клітки, кожна з 70 вершинами — 10-клітка Балабана[en], граф Харріса[en] і граф Харріса—Вона[en].

Обхват і розфарбовування графаРедагувати

Для будь-якого додатного цілого   існує граф   з обхватом   і хроматичним числом  . Наприклад, граф Ґрьоча є графом без трикутників і має хроматичне число 4, а багаторазове повторення побудови мичельськіана, що використовується для створення графа Ґрьоча, утворює графи без трикутників з як завгодно великим хроматичним числом. Пол Ердеш довів цю теорему, використовуючи імовірнісний метод.[4]

План доведення. Назвемо цикли довжиною не більше   короткими, а множини з   і більше вершин — великими. Для доведення теореми достатньо знайти граф   без коротких циклів і великих незалежних множин вершин. Тоді множина кольорів в розфарбовуванні не будуть більшими, і, як наслідок, для розфарбування потрібно   кольорів.

Щоб знайти такий граф, будемо фіксувати ймовірність вибору  , що дорівнює  . При маленьких   в   виникає лише мале число коротких циклів. Якщо тепер видалити по вершині з кожного такого циклу, отриманий граф   не матиме коротких циклів, а його число незалежності буде не менше, ніж у графа  [1].

Пов'язані концепціїРедагувати

Непарний обхват і парний обхват графа — це коли довжина найменшого непарного циклу і найменшого парного циклу відповідно.

Окружність графа — це довжина найбільшого по довжині циклу, а не найменшого.

Спроби оцінити довжину найменшого нетривіального циклу можна розглядати як узагальнення 1-систоли або більшої систоли в систолічній геометрії[en].


ПриміткиРедагувати

  1. а б R. Diestel, Graph Theory, p.8. 3rd Edition, Springer-Verlag, 2005
  2. Girth – Wolfram MathWorld. Архів оригіналу за 4 серпня 2020. Процитовано 30 жовтня 2015. 
  3. Brouwer, Andries E.. Cages. Архів оригіналу за 4 серпня 2020. Процитовано 30 жовтня 2015. . Electronic supplement to the book Distance-Regular Graphs (Brouwer, Cohen, and Neumaier 1989, Springer-Verlag).
  4. Erdős, Paul (1959). Graph theory and probability. Canadian Journal of Mathematics 11: 34–38. doi:10.4153/CJM-1959-003-9. .