Граф Татта — Коксетера

У математичній області теорії графів, граф Татта — Коксетера являє собою 3-регулярний граф з 30 вершинами і 45 ребрами. Як єдиний найменший кубічний граф обхвату 8, він є клітиною і графом Мура. Також це двочастковий граф і він може бути побудований як граф Леві узагальненого чотирикутника W2 (відомий як конфігурація Кремони — Річмонда. Граф був названий на честь Вільяма Томаса Татта і Х. С. М. Коксетера; був відкритий Таттом (1947), але його зв'язок з геометричними конфігураціями був досліджений обома авторами спільно, результати викладені в опублікованих статтях (Татт 1958; Кокстер 1958).

Граф Татта — Корсетера
Названо на честь Вільям Татт
Гарольд Коксетер
Вершин 30
Ребер 45
Радіус 4
Діаметр 4
Обхват 8
Автоморфізм 1440 (Aut(S6))
Хроматичне число 2
Хроматичний індекс 3
Число черг 2
Властивості кубічний граф
симетричний граф
клітка
граф Мура
дистанційно-регулярний граф
дистанційно-транзитивний граф
двочастковий

Всі кубічні дистанційно-регулярні графи відомі.[1] Граф Татта — Кокстера є одним з 13 таких графів.

Конструкції і автоморфізм

ред.

Особливо проста комбінаторна побудова графа Татта — Коксетера можлива завдяки роботі Коксетера (1958b), яка заснована на роботі Сильвестра (1844). У сучасній термінології, візьмемо повний граф на 6 вершин K6. Він має 15 ребер, а також 15 парувань. Кожна вершина графа Татта — Коксетера відповідає ребру або паруванню з K6, і кожне ребро графа Татта — Коксетера пов'язує узгодження K6 до кожного з трьох складових ребер.

На основі цієї конструкції, Коксетер показав, що граф Татта — Коксетера — симетричний граф; він має групу з 1440 автоморфізмів, які можуть бути ідентифіковані за допомогою автоморфізмів групи перестановок на шести елементах (Коксетер, 1958b). Внутрішні автоморфізми[en] цієї групи відповідають перестановці шести вершин графа specification; ці перестановки діють на граф Татта — Коксетера перестановкою вершин на кожній стороні його поділу на дві частини, зберігаючи при цьому кожну з двох сторін фіксованою у вигляді набору. Крім того, зовнішні автоморфізми групи[en] перестановок міняють одну сторону двочасткового графа на іншу. Як показав Коксетер, будь-який шлях до п'яти ребер в графі Татта — Коксетера еквівалентний будь-якому іншому такому шляху на один такий автоморфізм.

Галерея

ред.

Примітки

ред.
  1. Brouwer, A. E.; Cohen, A. M.; and Neumaier, A. Distance-Regular Graphs. New York: Springer-Verlag, 1989.
  • Coxeter, H. S. M. (1958a). The chords of the non-ruled quadric in PG(3,3). Canad. J. Math. 10: 484—488. doi:10.4153/CJM-1958-047-0.
  • Sylvester, J. J. (1844). Elementary researches in the analysis of combinatorial aggregation. Phil. Mag. Series 3. 24: 285—295.

Посилання

ред.