Задача степеня — діаметра

Зада́ча сте́пеня — діа́метра — задача пошуку найбільшого можливого графа $G$ (в термінах розміру множини його вершин $V$) діаметром $k$ такого, що найбільший степінь будь-якої вершини в графі $G$ не перевищує $d$. Розмір графа $G$ обмежений зверху межею Мура. Для $1<k$ і $2<d$ тільки граф Петерсена, граф Гофмана — Синглтона і, можливо, граф із діаметром $k=2$ і степенем $d=57$ досягають межі Мура. В загальному випадку графи з найбільшими значеннями степінь/діаметр мають розмір, значно менший від межі Мура.

Вивчається також задача пошуку найбільшого можливого орграфа, замість степеня графа в цьому випадку використовують напівстепень виходу.

Формула

Нехай $n_{d,k}$ — найбільше можливе число вершин графа зі степенем, що не перевершує $d$, і діаметром $k$, тоді $n_{d,k}\leq M_{d,k}$, де $M_{d,k}$ — межа Мура:

$M_{d,k}={\begin{cases}1+d{\frac {(d-1)^{k}-1}{d-2}}&d\geqslant 2\\2k+1&d=2\end{cases}}$

Ця межа досягається в рідкісних випадках, тому вивчення пішло в напрямку, наскільки близькі до межі Мура існують графи.

Величину $\delta =M_{d,k}-|V|$ називають дефектом графа (тут $|V|$ — число вершин у графі). Кажуть, що граф має малий дефект, якщо $\delta \leqslant d$. Є гіпотеза, що для степенів $d\geqslant 6$ не існує $(d,2)$-графів із дефектом 2. Про графи з дефектом, більшим від 2, відомо мало.

Для асимптотичної поведінки зауважимо, що $M_{d,k}=d^{k}+O(d^{k-1})$.

Для параметра $\mu _{k}=\liminf _{d\to \infty }{\frac {n_{d,k}}{d^{k}}}$ висловлено гіпотезу, що $\mu _{k}=1$ для всіх $k$; відомо, що $\mu _{1}=\mu _{2}=\mu _{3}=\mu _{5}=1$ і що $\mu _{4}\geq 1/4$.

MaxDDBS

Якщо дано зв'язний граф-господар^{[уточнити]} $G$, верхня межа степеня $d$ і верхня межа діаметра $k$, шукається найбільший підграф $S$ графа $G$ з найбільшим степенем, що не перевершує $d$ і діаметром, що не перевершує $k$. Цю задачу називають MaxDDBS, і вона містить задачу розміру — діаметра як частковий випадок (а саме, якщо за граф-господар взяти досить великий повний граф). Задача є NP-складною.

Див. також

• Клітка (теорія графів)

Література

• Молодцов С. Г. Наибольшие графы диаметра 2 и степени 6 // Дискретный анализ и исследование операций : тезисы докладов. — Новосибирск, Академгородок : Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2004. — Вип. 28 июня - 2 июля 2004 (21 квітня). — С. 109. Архівовано з джерела 10 квітня 2022. Процитовано 16 березня 2022.
• Bannai E., Ito T. On Moore graphs // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Ser. A. — 1973. — Т. 20 (21 квітня). — С. 191–208.
• Hoffman Alan J., Singleton Robert R. Moore graphs with diameter 2 and 3 // IBM Journal of Research and Development. — 1960. — Т. 5, вип. 4 (21 квітня). — С. 497–504. — DOI:10.1147/rd.45.0497. Архівовано з джерела 18 травня 2008. Процитовано 16 березня 2022.
• Singleton Robert R. There is no irregular Moore graph // American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1968. — Т. 75, вип. 1 (21 квітня). — С. 42–43. — DOI:10.2307/2315106.
• Miller Mirka, Širáň Jozef. Moore graphs and beyond: A survey of the degree/diameter problem // Electronic Journal of Combinatorics. — 2005. — Т. Dynamic survey (21 квітня). — С. DS14. Архівовано з джерела 10 лютого 2022. Процитовано 16 березня 2022.
• CombinatoricsWiki - The Degree/Diameter Problem. Архів оригіналу за 20 лютого 2012. Процитовано 16 березня 2022.
• Miller Mirka. An Overview of the Degree/Diameter Problem for Directed, Undirected and Mixed Graphs // Extended abstracts of IWONT. — Barcelona, 2010, 2010. — 21 квітня. — С. 335—346.
• Dekker A., Perez-Roses H., Pineda-Villavicencio G., Watters P. The Maximum Degree & Diameter-Bounded Subgraph and its Applications // Journal of Mathematical Modelling and Algorithms. — 2012. — 21 квітня. — DOI:10.1007/s10852-012-9182-8.
• Miller M., Perez-Roses H., Ryan J. The Maximum Degree and Diameter Bounded Subgraph in the Mesh. Discrete Applied Mathematics. — 2012. — 21 квітня. — DOI:10.1016/j.dam.2012.03.035.