Гравітаційні хвилі (гідродинаміка)

Гравітаційні хвилі — різновид хвиль на поверхні рідини, за яких деформовану поверхню рідини повертає до стану рівноваги сила тяжіння, пов'язана з перепадом висот гребенів і западин у гравітаційному полі.

Траєкторії умовних частинок води за не дуже великої (порівнянної з довжиною хвилі) глибини є еліпсами, що ілюструється хитанням пляшки

Вільні гравітаційні хвилі у водному шарі — хвилі, що з'являються під час руху по дну океану сейсмічних хвиль — хвиль Лява і хвиль Релея. Їх виявлено й досліджено 2019 року під час аналізу даних із глибоководних обсерваторій DONET, отриманих під час землетрусу й цунамі 11 березня 2011 року в Японії. Ці хвилі з'являлися більш ніж за годину до цунамі, збуджувані низькочастотними компонентами сейсмічних хвиль у районі крутих підводних схилів. Їх пікова амплітуда становила 3,5 см, період 170 с і довжина близько 22 км.

Загальні властивості

Гравітаційні хвилі на поверхні рідини — це нелінійні хвилі. Точний математичний аналіз можливий лише в лінеаризованому наближенні і за відсутності турбулентності. Крім того, зазвичай мова йде про хвилі на поверхні ідеальної рідини. Результати точного розв'язання для цього випадку описано нижче.

Гравітаційні хвилі на поверхні рідини не поперечні і не поздовжні. Під час коливань частинки рідини описують деякі криві, що переміщуються як у напрямку руху, так і поперек нього. У лінеаризованому наближенні ці траєкторії є колами. Це призводить до того, що профіль хвиль не синусоїдальний, а має характерні загострені гребені.

Нелінійні ефекти виявляються, коли амплітуда хвилі стає порівнянною з її довжиною. Одним з характерних явищ у цьому режимі є поява зламів на вершинах хвиль. Крім того, з'являється можливість перекидання хвилі. Ці явища поки що не піддаються точному аналітичному розрахунку.

Закон дисперсії для слабких хвиль

Поведінку хвиль малої амплітуди можна з хорошою точністю описати лінеаризованими рівняннями руху рідини. Для справедливості цього наближення необхідно, щоб амплітуда хвилі була істотно меншою як від довжини хвилі, так і від глибини водойми.

Є дві граничні ситуації, для яких розв'язок задачі має найпростіший вигляд — це гравітаційні хвилі на мілкій воді і на глибокій воді.

Гравітаційні хвилі на мілкій воді

Наближення хвиль на мілкій воді справедливе в тих випадках, коли довжина хвилі значно перевищує глибину водойми. Класичний приклад таких хвиль — цунамі в океані: поки цунамі не вийшла на берег, вона є хвилею з амплітудою порядку декількох метрів і довжиною в десятки і сотні кілометрів, що істотно більше від глибини океану.

Закон дисперсії і швидкості хвилі в цьому випадку має вигляд:

$\omega ={\sqrt {gH}}\cdot k\,;\quad v_{ph}=v_{gr}={\sqrt {gH}},$

де H — глибина водойми (відстань від поверхні до дна),

g — напруженість гравітаційного поля (прискорення вільного падіння).

$\omega$ — кутова частота коливань у хвилі,

k — хвильове число (величина, обернена довжині хвилі),

$v_{ph},v_{gr}$ — фазова і групова швидкості відповідно.

Такий закон дисперсії приводить до деяких явищ, які можна легко помітити на морському березі.

• Навіть якщо хвиля у відкритому морі йшла під кутом до берега, то при виході на берег гребені хвилі мають тенденцію розвиватися паралельно берегу. Це пов'язано з тим, що поблизу берега, коли глибина починає поступово зменшуватися, швидкість хвилі спадає. Тому коса хвиля пригальмовує на підході до берега, розвертаючись при цьому.
• Завдяки аналогічному механізму, при підході до берега зменшується поздовжній розмір цунамі, при цьому висота хвилі зростає.

Гравітаційні хвилі на глибокій воді

Наближення хвилі на глибокій воді справедливе, коли глибина водойми значно перевищує довжину хвилі. В цьому випадку для простоти розглядають нескінченно глибоку водойму. Це обґрунтовано, оскільки під час коливань поверхні реально рухається не вся товща води, а лише приповерхневий шар глибиною порядку довжини хвилі.

Закон дисперсії і швидкості хвилі в цьому випадку має вигляд:

$\omega ={\sqrt {gk}}\,;\quad v_{ph}=2v_{gr}={\sqrt {g \over k}}.$

З виписаного закону випливає, що фазова і групова швидкість гравітаційних хвиль у цьому випадку виявляються пропорційними довжині хвилі. Іншими словами, довгохвильові коливання будуть поширюватися по воді швидше від короткохвильових, що приводить до низки цікавих явищ:

• Кинувши камінь у воду і дивлячись на кола, утворювані ним, можна помітити, що межа хвиль розширюється не рівномірно, а приблизно рівноприскорено. При цьому, чим більша межа, тим більш довгохвильовими коливаннями вона формується.
• Красивим наслідком виписаного закону дисперсії є корабельні хвилі.

Гравітаційні хвилі в загальному випадку

Якщо довжина хвилі порівнянна з глибиною басейну H, то закон дисперсії в цьому випадку має вигляд:

$\omega ={\sqrt {gk\cdot th(kH)}}\,.$

Деякі проблеми теорії гравітаційних хвиль на воді

• Досі не зрозумілий механізм формування і стійкості так званих хвиль-убивць — неочікуваних хвиль екстремальної амплітуди.

Див. також

• Дев'ятибальна_шкала_хвилювання_моря

Література

• Грац Ю. В. Лекции по гидродинамике.-М., Ленанд, 2014