Лінеаризáція — (лат. linearis — лінійний), один з методів наближеного подання нелінійних систем, при якому дослідження нелінійної системи замінюється аналізом лінійної системи, в деякому розумінні еквівалентної початковій. Методи лінеаризації мають обмежений характер, тобто еквівалентність початкової нелінійної системи і її лінійного наближення зберігається лише при певному «режимі» роботи системи, а якщо система переходить з одного режиму роботи на іншій, то слід змінити і її лінеаризировану модель. Застосовуючи лінеаризацію, можна з'ясувати багато якісних і особливо кількісних властивостей нелінійної системи.

Лінеаризація функціїРедагувати

Лінеаризація функції — це дієвий метод для наближеного обчислення значення функції   в будь-якій   беручи за основу нахил функції в  , за умови неперервності   на   (або  ) і того, що   достатньо близько до  . Коротко, лінеаризація обчислює наближене значення функції біля  .

Наприклад,  . Однак, що буде хорошим наближенням для  ?

Будь-яку функцію   можна лінеаризувати якщо вона неперервна біля цікавої нам точки. Для лінеаризації   функції   в точці   виконується  . Загальною формою рівняння в околі точки   при нахилі   є:  .

Використовуючи точку  ,   набуває вигляду  . Бо неперервні функції є локально лінійні, найкращим нахилом для підстановки буде нахил дотичної до   у  .

 
Наближення для f(x)=x^2 у (x, f(x))

Візуально, на зображені показана дотична лінії для   у  . В  , де   є будь-яким достатньо малим по модулю значенням,   дуже близьке до значення на дотичній в точці  .

У результаті отримуємо рівняння для лінеаризації функції в  :

 

ПрикладРедагувати

Щоб знайти  , ми можемо використати те, що  . Лінеаризацією   в   є  , бо функція   визначає нахил функції   в  . При  , лінеаризація в 4 є  . У цьому випадку  , отже   це приблизно  . Справжнє значення близьке до 2.00024998.

Лінеаризація функції багатьох зміннихРедагувати

Рівняння для лінеаризації функції   в точці   таке:

 

Узагальнене рівняння для лінеаризації функції багатьох змінних   у точці   таке:

 

де   є вектором змінних і   точка в якій ми лінеаризуємо.[1]

Лінеаризація нелінійних систем звичайних диференціальних рівняньРедагувати

Лінеаризація дає можливість розглядати нелінійну систему як лінійну в деякому обмеженому сенсі і таким чином аналізувати її поведінку в околі цікавих нам точок. Зазвичай це критичні точки, тобто такі, де   Лінеаризація функції це доданок першого порядку з ряду Тейлора біля точки. Отже для системи визначеної рівнянням

 ,

лінеаризовану систему можна записати як

 

де   це цікава нам точка і   це якобіан   evaluated at  .

Якщо точка     критична, то рівняння набуває вигляду

 

ПриміткиРедагувати

  1. Linearisation. The Johns Hopkins University. Department of Electrical and Computer Engineering. Архів оригіналу за 7 червень 2010. Процитовано 1 червень 2014.