Геометричний рід

В алгебраїчній геометрії геометричний рід — це основний біраціональний інваріант p_g дляалгебраїчних многовидів і комплексних многовидів .

Визначення

Геометричний рід може бути визначений для неоднорідних комплексних проективних многовидів і, загалом, для Комплексних різновидів як число Ходжа h^n,0 (рівне h^0,n за дуальністю Серра), тобто розмірність канонічної лінійної системи плюс один.

Іншими словами, для різновиду V комплексної розмірності n — це число лінійно незалежних голоморфних n — форм, які можна знайти на V Це визначення, як вимір

H⁰(V,Ωⁿ)

потім переноситься на будь-яке базове поле, коли Ω вважається групою диференціалів Келера, а потужність є (верхньою) зовнішньою силою, канонічним рядом лінії .

Геометричний рід — це перший інваріант p_g = P₁ послідовності інваріантів P_n називається plurigenera .

Випадок кривих

У випадку складних різновидів (складні локуси) несингулярні криві є Рімановими поверхнями . Алгебраїчне визначення роду узгоджується з топологічним поняттям . На несинулярній кривій канонічний лінійний пучок має ступінь 2g − 2 .

Поняття про родоподібний характер є у викладі теореми Рімана-Роха (див. Також теорему Рімана-Роха про алгебраїчні криві) та формули Рімана-Гурвіца . За теоремою Рімана-Роха, непридатна крива площини градуса d має геометричний рід

$g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,$

де s — кількість сингулярностей при правильному підрахунку

Якщо C — невідворотна (і гладка) гіперповерхня в проективній площині, вирізана поліноміальним рівнянням ступеня d, то її звичайний лінійний сегмент — це скручувальний сегмерт Серра ${\mathcal {O}}(d)$, тому за формулою доповнення канонічне рядок ліній C задається через

${\mathcal {K}}_{C}=\left[{\mathcal {K}}_{\mathbb {P} ^{2}}+{\mathcal {O}}(d-3)\right]_{\vert C}={\mathcal {O}}(d)_{\vert C}$

Рід особливих кривих

Визначення геометричного роду переноситься класично до сингулярних кривих C, декретуючи це

p_g(C)

- це геометричний рід нормалізації C′ . Тобто, починаючи з перетворення

C′ → C

є біраціональним, визначення яке розширюється біраціональною інваріантністю.

Див. також

• Рід (математика)
• Арифметичний рід
• Інваріанти поверхонь

Список літератури

• P. Griffiths; J. Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. с. 494. ISBN 0-471-05059-8. P. Griffiths; J. Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. с. 494. ISBN 0-471-05059-8. P. Griffiths; J. Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. с. 494. ISBN 0-471-05059-8.
• V. I. Danilov; Vyacheslav V. Shokurov (1998). Algebraic curves, algebraic manifolds, and schemes. Springer. ISBN 978-3-540-63705-9. V. I. Danilov; Vyacheslav V. Shokurov (1998). Algebraic curves, algebraic manifolds, and schemes. Springer. ISBN 978-3-540-63705-9. V. I. Danilov; Vyacheslav V. Shokurov (1998). Algebraic curves, algebraic manifolds, and schemes. Springer. ISBN 978-3-540-63705-9.