Вектор-рядки та вектор-стовпці

У лінійній алгебрі вектор-стовпець — це стовпець елементів, наприклад,

${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}.$

Аналогічно, вектор-рядок — це рядок елементів:

${\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.$

Всюди жирний курсивний шрифт використовується як для вектор-рядків, так і для вектор-стовпців. Транспонування (позначається як ${\rm {T}}$) вектор-рядка є вектор-стовпцем

${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}},$

а транспонування вектор-стовпця є вектор-рядком

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{m}\end{bmatrix}}.$

Сукупність усіх вектор-рядків з $n$ елементами утворює $n$-вимірний векторний простір; аналогічно, множина всіх вектор-стовпців з $m$ елементами утворює $m$-вимірний векторний простір.

Простір вектор-рядків з $n$ елементами можна розглядати як дуальний простір простору вектор-стовпців з $n$ елементами, оскільки будь-який лінійний функціонал на просторі вектор-стовпців можна представити як множення зліва єдиного вектор-рядка.

Позначення

Щоб спростити запис вектор-стовпців у рядку з іншим текстом, іноді їх записують як вектор-рядки із застосуванням до них операції транспонування:

${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$

або

${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}.$

Деякі автори також використовують домовленість запису і вектор-стовпців і вектор-рядків як рядків, але розділяючи елементи вектор-рядка комами, а елементи вектор-стовпця крапками з комами (див. альтернативне позначення 2 у таблиці нижче).

	Вектор-рядок	Вектор-стовпець
Стандартне матричне позначення (пробіли в масиві, без ком, знаки транспонування)	${\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}{\text{ або }}{\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$
Альтернативне позначення 1 (коми, знаки транспонування)	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$
Альтернативне позначення 2 (коми та крапки з комами, без знаків транспонування)	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1};x_{2};\dots ;x_{m}\end{bmatrix}}$

Операції

Множення матриць включає дію множення кожного вектор-рядка однієї матриці на кожен вектор-стовпець іншої матриці.

Скалярний добуток двох вектор-стовпців ${\boldsymbol {a}}$ і ${\boldsymbol {b}}$ еквівалентний матричному добутку транспонованого вектора ${\boldsymbol {a}}$ та вектора ${\boldsymbol {b}}$:

${\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {a}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {b}}={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}.$

Внаслідок симетрії скалярного добутку добуток двох вектор-стовпців ${\boldsymbol {a}}$ і ${\boldsymbol {b}}$ також еквівалентний матричному добутку транспонованого вектора ${\boldsymbol {b}}$ та вектора ${\boldsymbol {a}}$:

${\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {b}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}.$

Матричний добуток вектор-стовпця та вектор-рядка дає векторний добуток двох векторів ${\boldsymbol {a}}$ і ${\boldsymbol {b}}$, як приклад більш загального тензорного добутку. Матричний добуток вектор-стовпця ${\boldsymbol {a}}$ та вектор-рядка ${\boldsymbol {b}}$ дає елементи їхнього діадичного добутку

${\boldsymbol {a}}\otimes {\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {a}}{\boldsymbol {b}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{bmatrix}},$

який є транспонуванням матричного добутку вектор-стовпця ${\boldsymbol {b}}$ і вектор-рядка ${\boldsymbol {a}}$:

${\boldsymbol {b}}\otimes {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {b}}{\boldsymbol {a}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}.$

Матричні перетворення

$n\times n$ матрицю $M$ можна представити як лінійне відображення та діяти на вектор-рядки та вектор-стовпці як матриця перетворення лінійного відображення. Для вектор-рядка ${\boldsymbol {v}}$ добуток ${\boldsymbol {v}}M$ є іншим вектор-рядком ${\boldsymbol {p}}$:

${\boldsymbol {v}}M={\boldsymbol {p}}.$

Інша $n\times n$ матриця $Q$ може діяти на ${\boldsymbol {p}}$:

${\boldsymbol {p}}Q={\boldsymbol {t}}.$

Тоді можна записати ${\boldsymbol {t}}={\boldsymbol {p}}Q={\boldsymbol {v}}MQ$. Отже, перетворення матричного добутку $MQ$ відображає ${\boldsymbol {v}}$ безпосередньо в ${\boldsymbol {t}}$. Продовжуючи роботу з вектор-рядками, матричні перетворення, які додатково переконфігурують $n$-простір, можна застосувати справа на вихідні дані.

Якщо вектор-стовпець перетворюється в інший вектор-стовпець під дією $n\times n$ матриці, то операція відбувається зліва:

${\boldsymbol {p}}^{\rm {T}}=M{\boldsymbol {v}}^{\rm {T}},\quad {\boldsymbol {t}}^{\rm {T}}=Q{\boldsymbol {p}}^{\rm {T}},$

що приводить до алгебраїчного співвідношення $QM{\boldsymbol {v}}^{\rm {T}}$ для скомпонованих вихідних даних, які отримано з вхідних даних ${\boldsymbol {v}}^{\rm {T}}$. Матричні перетворення розташовуються зліва при такому використанні вектор-стовпця для входу в матричне перетворення.

Див. також

• Коваріантність і контраваріантність (математика)
• Індексне позначення
• Матриця одиниць
• Матрична одиниця
• Стандартний базис
• Одиничний вектор

Джерела

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on March 1, 2001
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)