Аналітичний простір

Аналіти́чний про́стір — це окільцьований простір, локально влаштований як аналітична множина.

Загальний опис

Аналітичний простір — це окільцьований простір, такий, що кожна точка $x\in X$ має відкритий окіл U, для якого $(U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})$ ізоморфний деякій аналітичній множині $(A,({\mathcal {O}}_{B}/{\mathcal {I}})|_{A})$, отриманій з когерентного пучка ідеалів ${\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{B}$ голоморфних функцій у деякій області B. Зокрема, ${\mathcal {O}}_{X}$ є когерентним пучком локальних $\mathbb {C}$-алгебр. Наприклад, коли ${\mathcal {I}}=0$ для всіх обраних U, то $(U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})\cong (B,{\mathcal {O}}_{B})$ і аналітичний простір є (комплексним) аналітичним многовидом. Якщо для локальної моделі $A\subset B$ маємо ${\mathcal {I}}={\mathcal {I}}_{A}$ — когерентний пучок ідеалів, що з відкритою підмножиною $V\subset B$ пов'язує ${\mathcal {I}}_{A}(V)=\{f\in {\mathcal {O}}_{B}(V)\mid f(A\cap V)=0\}$, то аналітичний простір називається зведеним. Оскільки ${\mathcal {O}}_{B}/{\mathcal {I}}_{A}$ вкладається в пучок ${\mathcal {C}}_{A}$ неперервних функцій на A, то для зведеного аналітичного простору ${\mathcal {O}}_{X}\subset {\mathcal {C}}_{X}$. Для кожного пучка комутативних кілець ${\mathcal {R}}$ на X позначимо ${\mathfrak {n}}({\mathcal {R}})\subset {\mathcal {R}}$ його нільрадикал, а саме: ${\mathfrak {n}}({\mathcal {R}})_{x}={\mathfrak {n}}({\mathcal {R}}_{x})$ — ідеал нільпотентних елементів в ${\mathcal {R}}_{x}$, $x\in X$. Для зведеного аналітичного простору $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ маємо ${\mathfrak {n}}({\mathcal {O}}_{X})=0$. Для довільного аналітичного простору $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ визначимо його зведення як $\mathrm {red} \,X=(X,\mathrm {red} \,{\mathcal {O}}_{X})$, де $\mathrm {red} \,{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{X}/{\mathfrak {n}}({\mathcal {O}}_{X})$.

Морфізми аналітичних просторів

Морфізми аналітичних просторів $f:(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ — це морфізми окільцьованих просторів, тобто пари $(f,{\tilde {f}})$, де $f:X\to Y$ — неперервне відображення топологічних просторів, а ${\tilde {f}}:{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}({\mathcal {O}}_{X})$ - гомоморфізм пучків $\mathbb {C}$-алгебр. Наприклад, для довільного аналітичного простору $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ морфізм зведення $\mathrm {Red} :\mathrm {red} \,X\to X$ складається з тотожного відображення $\mathrm {id} _{X}$ і канонічної проєкції ${\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}/{\mathfrak {n}}({\mathcal {O}}_{x})$. $\mathrm {red}$ є функтором з категорії аналітичних просторів до повної підкатегорії зведених аналітичних просторів і $\mathrm {Red} :\mathrm {red} \to \mathrm {Id}$ є природним перетворенням. Морфізм зведених аналітичних просторів допускає простий опис: це неперервне відображення $f:X\to Y$, таке, що для кожної точки $x\in X$ і кожного $h\in {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\subset {\mathcal {C}}_{Y,f(x)}$, що розглядається як паросток неперервної функції, паросток $h\circ f\in {\mathcal {C}}_{X,x}$ належить ${\mathcal {O}}_{X,x}$.

Властивості

Аналогічні означення (але не результати) формулюються над іншими повними полями k з недискретним нормуванням. Для $k=\mathbb {R}$ йдеться про дійсні аналітичні функції, дійсні аналітичні простори, тощо. Властивість ${\mathcal {I}}_{A}=\mathrm {rad} \,{\mathcal {I}}$ притаманна лише алгебрично замкненим полям k. Тому у випадку $k=\mathbb {R}$ лише зведені дійсні аналітичні простори наповнені геометричним змістом. Крім того, структурний пучок ${\mathcal {O}}$ на дійсному аналітичному просторі не обов'язково є когерентним.

Аналітичні підмножини A комплексних аналітичних просторів $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ визначаються як носії $(A=\mathrm {supp} \,({\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}),{\mathcal {O}}_{A}={\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})$ для когерентного пучка ідеалів ${\mathcal {I}}$. Вони самі є аналітичними просторами і можуть бути задані локальними рівняннями (теорема Картана-Ока): нехай A — замкнена підмножина X і для довільної точки $a\in A$ існують такий окіл $V\ni x$ в X і такі елементи $f_{1},\dots ,f_{q}\in {\mathcal {O}}_{X}(V)$, що $A\cap V=\{x\in V\mid f_{1}(x)=\dots =f_{q}(x)=0\}$. Тут f(x) визначена як $(\mathrm {Red} \,f)(x)$. Тоді A є аналітичною множиною, а саме носієм $\mathrm {supp} \,({\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}_{A})$ для когерентного ідеалу ${\mathcal {I}}_{A}(U)=\{f\in {\mathcal {O}}_{X}(U)\mid (\mathrm {Red} \,f)(A\cap U)=0\}$, де U відкрита в X. Наприклад, множина S особливих точок $x\in X$ (тих, що не є регулярними) аналітична.

Для кожної точки аналітичного простору $x\in X$ стебло ${\mathcal {O}}_{X,x}$ є аналітичною локальною k-алгеброю, тобто факторалгеброю $K_{m}/I=K_{m}/(f_{1},\dots ,f_{q})$ нетерової алгебри $K_{m}$ збіжних рядів від m змінних. Скінченнопороджений модуль M над ${\mathcal {O}}_{X,x}$ має вимірність Шевале $\mathrm {dim} _{{\mathcal {O}}_{X,x}}\,M\in \mathbb {N}$, це найменша довжина d набору $a_{1}$, \dots, $a_{d}\in {\mathfrak {m}}_{x}$ (${\mathfrak {m}}_{x}$ — максимальний ідеал ${\mathcal {O}}_{X,x}$) такого, що $M/(a_{1},\dots ,a_{d})M$ — скінченновимірний k-векторний простір. Зокрема, $\mathrm {dim} \,{\mathcal {O}}_{X,x}=\mathrm {dim} _{{\mathcal {O}}_{X,x}}\,{\mathcal {O}}_{X,x}\leq m$. Глобальна вимірність X - це $\mathrm {dim} \,X=\mathrm {sup} _{x\in X}\,\mathrm {dim} \,{\mathcal {O}}_{X,x}$. Для незвідної аналітичної множини A функція $x\mapsto \mathrm {dim} \,{\mathcal {O}}_{A,x}$ постійна на A (і приймає значення $\mathrm {dim} \,A$). У кодотичного простору $T_{x}^{*}={\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ вимірність $\mathrm {dim} _{k}T_{x}^{*}\geq \mathrm {dim} \,{\mathcal {O}}_{X,x}$. Точка x аналітичного простору X називається неособливою (або регулярною), якщо існує окіл $U\ni x$ такий, що локальна модель $(U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})$ ізоморфна області $(B,{\mathcal {O}}_{B})$ в $k^{m}$. Ця умова еквівалентна рівності $\mathrm {dim} _{k}T_{x}^{*}=\mathrm {dim} \,{\mathcal {O}}_{X,x}$. Якщо X зведений, то множина S особливих точок ніде не щільна в X, отже має ковимірність $\mathrm {codim} _{x}\,S=\mathrm {dim} \,{\mathcal {O}}_{X,x}-\mathrm {dim} \,{\mathcal {O}}_{S,x}$ щонайменше 1 в кожній точці $x\in S$. Множина S особливих точок аналітичного простору X порожня тоді і лише тоді, коли X — аналітичний многовид. Якщо $k=\mathbb {C}$, для достатньо малої $B\subset \mathbb {C} ^{m}$ і відповідної локальної моделі $X\supset A\subset B$ топологічна вимірність $\mathrm {dim} \,\mathrm {top} \,A=2\mathrm {dim} \,A$.

Непорожня аналітична множина A комплексного аналітичного простору X називається незвідною, якщо вона не є об'єднанням аналітичних множин $B\neq A$ та $C\neq A$. Кожна аналітична множина A в X єдиним чином розкладається в об'єднання непорожніх незвідних аналітичних множин $A=\cup _{i\in I}A_{i}$ таких, що (1) сім'я $\{A_{i}\}_{i\in I}$ локально скінченна в X; (2) для кожної пари $i,j\in I$, $i\neq j$, перетин $A_{i}\cap A_{j}$ ніде не щільний в $A_{i}$. Множини $A_{i}$ називаються незвідними компонентами множини A.

Один з класів комплексних аналітичних просторів становлять простори Штайна $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ — такі, що для кожного когерентного пучка ${\mathcal {O}}_{X}$-модулів ${\mathcal {S}}$ маємо $H^{q}(X,{\mathcal {S}})=0$ при $q\geq 1$. Для аналітичних просторів X зі зліченною базою топології штайновість еквівалентна умові $H^{1}(X,{\mathcal {I}})=0$ для кожного когерентного пучка ідеалів ${\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{X}$. Штайновість аналітичного простору X еквівалентна штайновості його зведення $\mathrm {red} \,X$. Близькість теорії просторів Штайна до аналізу і топології ілюструється принципом Ока: на зведеному просторі Штайна голоморфні задачі, які можуть бути сформульовані в термінах когомологій, (задачі Кузена тощо) мають голоморфний розв'язок тоді і лише тоді, коли вони мають неперервний розв'язок.

Див. також

• Аналітичний многовид

Література

• Велика українська енциклопедія

• Abhyankar S. S., Local analytic geometry, Pure and Applied Mathematics, vol. XIV, Academic Press, New York-London, 1964.

• Gunning R. C., Rossi H., Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1965.

• Grauert H., Remmert R., Analytische Stellenalgebren, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 176, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1971.

• Grauert H., Remmert R., Theorie der Steinschen Räume, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 227, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.