Хвіст ластівки (поверхня)

Хвіст ластівки (англ. swallow tail) — нерегулярна поверхня в тривимірному просторі, визначити яку можна декількома еквівалентними способами. Розглянемо многочлен $P(x)=x^{4}+ax^{2}+bx+c$ від змінної $x$, що залежить від коефіцієнтів $a,b,c$ (і змінна, і коефіцієнти передбачаються дійсними). Кожній трійці коефіцієнтів $a,b,c$ однозначно відповідає многочлен $P(x)$, а також точка в просторі з декартовими координатами $(a,b,c)$. Тоді «хвіст ластівки» визначається як поверхня $S$ в просторі з координатами $(a,b,c)$, точкам якої відповідають багаточлени $P(x)$, які мають кратні корені.

«Хвіст ластівки»

Поверхня $S$ має особливість у вигляді ребра повернення і лінії самоперетину, при цьому ребро повернення має вигляд напівкубічної параболи, що має особливість у вигляді точки повернення (каспу). Поверхня $S$ розбиває простір $(a,b,c)$ на три області, що відповідають числам дійсних коренів многочлена $P(x)$. Саме, в області, що має вигляд криволінійної піраміди, ребрами якої є лінія самоперетину і дві гілки напівкубічної параболи, $P(x)$ має 4 дійсних корені, в прилеглій до неї області — два, і в області, що залишилась — нуль.

Хвіст ластівки знаходить численні застосування в теорії катастроф і теорії біфуркацій. Зокрема, він є поверхнею критичних значень (образом множини критичних точок) одного з стійких ростків гладких відображень $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$. Хвіст ластівки є стратифікованим многовидом.

Параметричне задання

Користуючись даним означенням, можна отримати формулу, що задає хвіст ластівки параметрично:

$\left\{{\begin{matrix}x_{1}(u,v)=&u\\x_{2}(u,v)=&2v^{3}+uv\\x_{3}(u,v)=&3v^{4}+uv^{2}.\\\end{matrix}}\right.$

Цікаві факти

Поверхня хвіст ластівки була детально вивчена Кронекером в 1878 році, вона зустрічається також в роботах Келі того ж часу, присвячених особливостям розповсюджуються хвильових фронтів і каустик.

У 1983 році іспанський художник Сальвадор Далі під враженням від робіт французького математика Рене Тома в області теорії катастроф написав картину «Хвіст ластівки», що являє собою просту каліграфічну композицію на світлому фоні, в центрі якої зображено переріз поверхні $S$ в просторі $(a,b,c)$ площиною $a={\text{const}}>0$ — крива з точкою самоперетину і двома напівкубічними точками повернення. На цій картині, що стала останнім твором художника, можна бачити також кубічну параболу, стилізовані знаки інтеграла й фрагменти музичних інструментів.

Література

• Арнольд В. И. Теория катастроф, — Любое издание.
• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
• Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей, — М.: Мир, 1988.
• Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов, — М.: Фазис, 1996.
• В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций.