Пропагатор

(Перенаправлено з Функція поширення)

Пропага́тор або фу́нкція поши́рення — функція, що задає амплітуду ймовірності переходу квантової частинки, яка перебувала в певний момент часу в однієї точці простору, в іншу в інший момент часу.

Пропагатор є функцією Гріна рівняння Шредінгера. Пропагатори використовуються для функціонального формулювання квантової механіки, в якому застосовуються інтеграли Фейнмана.

ОзначенняРедагувати

Пропагатор визначається, як матричний елемент оператора еволюції

 ,

де пропагатор позначений K, оператор еволюції  , а   — власна функція оператора координати.

В нерелятивістській квантовій механіці пропагатор задовольняє рівнянню

 ,

де   — гамільтоніан,   — зведена стала Планка.

Хвильова функція частинки в момент часу t виражається через хвильову функцію в момент часу   з використанням пропагатора через формулу

 

ПрикладиРедагувати

Вільна частинкаРедагувати

Для вільної частинки, яка рухається в тривимірному просторі пропагатор має вигляд

 ,

де m — маса частинки.

Ця формула описує розпливання хвильового пакета з часом.

Пропагатори у квантовій теорії поляРедагувати

У квантовій теорії поля пропагатором для коваріантного поля народження і знищення

 ,

де   - спінорний індекс, що відповідає спіну (спіральності)   поля як представлення групи Пуанкаре,   - поляризації (  поляризацій для масивного випадку, 1 поляризація для безмасового випадку без інваріантності представлення відносно дискретних симетрій групи Лоренца та 2 поляризації для безмасового випадку із інваріантністю відносно вказаних дискретних симетрій),

(у координатному представленні) називається[1] вираз

 .

Тут  ,

де   обирається в залежності від типу комутаційних співвідношень для операторів полів   - відповідно комутаційних чи антикомутаційних.

Обмежимось пропагатором для вільної теорії. Враховуючи, що при дії на вакуум маємо  , вираз   можна переписати як

 ,

де   визначає антикомутатор чи комутатор відповідно. Використовуючи (анти)комутаційні співвідношення на оператори народження і знищення

 ,

можна отримати вираз

 ,

де

 ,

а

  -

пропагатор для клейн-гордонівського поля спіну 0. Як можна показати, він задовольняє рівнянню

 ,

тому його можна представити як

 .

Тому, нарешті, вираз   переписується як

 .

Для найпростіших теорій (скалярної, діраківської, масивного бозону спіну 1 і безмасового бозону спіральності 1) маємо, з відомих виразів для сум по поляризаціям,

 ,
 ,
 ,
 .


ПосиланняРедагувати

  1. Загальний вигляд матричних елементів

ЛітератураРедагувати

  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
  • Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М. : Наука, 1984. — 600 с.
  • Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — М. : Наука, 1978. — 296+408 с.
  • Вентцель Г. Введение в квантовую теорию волновых полей. — М. : ГИТТЛ, 1947. — 292 с.
  • Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск : РХД, 2009. — 632 с.
  • Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. — М. : Мир, 1984. — 448+400 с.
  • Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск : РХД, 2001. — 784 с.
  • Райдер Л. Квантовая теория поля. — М. : Мир, 1987. — 512 с.