Відкрити головне меню

У статистиці вне́сок, фу́нкція вне́ску, або ефекти́вний вне́сок (англ. score, score function, efficient score,[1] informant[2]) показує, наскільки чутливо функція правдоподібності залежить від свого параметру[en] . В явному вигляді внесок є градієнтом логарифмічної правдоподібності по відношенню до .

Внесок відіграє важливу роль у деяких аспектах висновування. Наприклад:

Функція внеску також відіграє важливу роль в обчислювальній статистиці[en], оскільки вона може грати певну роль в обчисленні оцінок максимальної правдоподібності.

ВизначенняРедагувати

Функція внеску, або ефективний внесок,[1] — це градієнт (вектор часткових похідних) по відношенню до деякого параметру   логарифму (зазвичай, натурального логарифму) функції правдоподібності (логарифмічної правдоподібності). Якщо спостереженням є  , а його правдоподібністю є  , то внесок   може бути знайдено за допомогою ланцюгового правила:

 

Таким чином, внесок   показує чутливість   (її похідну, нормалізовану за її значенням). Зауважте, що   є функцією від   та спостереження  , отже, взагалі кажучи, він не є статистикою. Проте в деяких застосуваннях, таких як перевірка внеску[en], внесок оцінюється на певному значення   (такому як значення нульової гіпотези, або оцінка максимальної правдоподібності  ), і в такому випадку результатом є статистика.

У старій літературі для позначення внеску по відношенню до нескінченно малого перенесення заданої густини може застосовуватися термін «лінійний внесок» (англ. linear score). Цей звичай походить з того часу, коли основним параметром, що становив інтерес, було середнє значення або медіана розподілу. В цьому випадку правдоподібність спостереження задається густиною вигляду  . Тоді «лінійний внесок» визначається як

 

ВластивостіРедагувати

Середнє значенняРедагувати

За деяких умов закономірності[en], математичне сподівання   по відношенню до спостереження   за умови істинності параметру  , що записується як  , є нульовим. Щоби побачити це, перепишімо функцію правдоподібності L як функцію густини ймовірності  . Тоді

 

Якщо дотримуються певні умови диференційовності (див. Формула Лейбніца), то цей інтеграл може бути переписано як

 

Варто перевикласти отриманий вище результат словами: математичне сподівання внеску є нульовим. Таким чином, якщо потрібно було повторювано брати проби з деякого розподілу, і повторювано обчислювати внесок, то при наближенні числа повторюваних проб до нескінченності середнє значення цих внесків прямуватиме до нуля.

ДисперсіяРедагувати

Дисперсія внеску відома як інформація за Фішером, і записується як  . Оскільки математичне сподівання внеску є нульовим, її може бути записано як

 

Зауважте, що визначена таким чином інформація за Фішером не є функцією будь-якого конкретного спостереження, оскільки випадкову змінну   було усереднено. Це поняття інформації є корисним при порівнянні двох методів спостереження деякого випадкового процесу.

ПрикладиРедагувати

Процес БернулліРедагувати

Розгляньмо процес Бернуллі[en] з A успіхами та B невдачами; ймовірністю успіху є θ.

Тоді правдоподібністю L є

 

таким чином, внеском V є

 

Тепер ми можемо перевірити, що математичне сподівання внеску є нульовим. Зауважуючи, що математичним сподіванням A є nθ, а математичним сподіванням B є n(1 − θ) [пригадаймо, що A та B є випадковими змінними], ми можемо побачити, що математичним сподіванням V є

 

Ми можемо також перевірити й дисперсію  . Нам відомо, що A + B = n (таким чином, Bn − A), і що дисперсією A є nθ(1 − θ), таким чином, дисперсією V є

 

Модель із двійковим виходомРедагувати

Для моделей з двійковими виходами (Y = 1 або 0) внесок моделі може оцінюватися за допомогою логарифму передбачень

 

де p є ймовірністю в оцінюваній моделі, а S є внеском.[7]

ЗастосуванняРедагувати

Внесковий алгоритмРедагувати

Детальніші відомості з цієї теми Ви можете знайти в статті Внесковий алгоритм[en].

Внесковий алгоритм (англ. scoring algorithm) — це ітеративний метод чисельного визначення статистичної оцінки максимальної правдоподібності.

Перевірка внескуРедагувати

Детальніші відомості з цієї теми Ви можете знайти в статті Перевірка внеску[en].

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

ЛітератураРедагувати