Відкрити головне меню

У функціональному аналізі функціонал Мінковського використовує лінійну структуру простору для введення топології на ньому. Названий на честь німецького математика Германа Мінковського.

ВизначенняРедагувати

Для будь-якого векторного простору X (дійсного або комплексного) і його підмножини K визначимо функціонал Мінковського

 

як

 

Передбачається, що 0 ∈ K і множина {r > 0: xr K} непорожня. При додаткових умовах на K функціонал буде мати властивості напівнорми, а саме:

  • Із опуклості й симетричності K випливає субадитивність  , тобто
     
  • Однорідність (μK(α x) = |α| μK(x) для всіх α) досягається, якщо K — збалансована множина, тобто α K ⊂ K для всіх |α| ≤ 1.

ВластивостіРедагувати

Функціонал Мінковського можна використовувати для задання топології в просторі, так як для опуклих замкнених множин K, що містять 0, він має властивості напівнорми. Він також дозволяє встановити відповідність (один із проявів двоїстості Мінковського) між множинами в X і X*, оскільки володіє властивостями опорної функції в зв'язаному просторі. Нехай X — скінченновимірний евклідів простір. Для будь-якої множини K з X визначимо спряжену множину K* з X* як множину, опорна функція s (p, K*) якої на векторах p з X збігається з pK:

 

При цьому для будь-якого опуклого замкнутого збалансованого K

 

Це визначення також можна поширити на нескінченновимірні рефлексивні простори. При цьому, однак, виникає деяка складність, так як простір X ** містить елементи, що не лежать в X. Можна довизначити опорну функцію на K *, поклавши її для таких векторів рівною 0. Тоді при природному вкладенні X в X ** образ K збігається з K ** (при опуклості і збалансованості).

ПосиланняРедагувати

Інші прояви двоїстості Мінковського:

ЛітератураРедагувати

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.