Функціонал Мінковського

У функціональному аналізі функціонал Мінковського використовує лінійну структуру простору для введення топології на ньому. Названий на честь німецького математика Германа Мінковського.

Визначення

Для будь-якого векторного простору X (дійсного або комплексного) і його підмножини K визначимо функціонал Мінковського

$\ \mu _{K}:X\rightarrow [0,\infty )$

як

$\mu _{K}(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}.$

Передбачається, що 0 ∈ K і множина {r > 0: x ∈ r K} непорожня. При додаткових умовах на K функціонал буде мати властивості напівнорми, а саме:

• Із опуклості й симетричності K випливає субадитивність $\mu _{K}$, тобто

  $\ \mu _{K}(\alpha x+\beta y)\leq \alpha \mu _{K}(x)+\beta \mu _{K}(y)$

• Однорідність (μ_K(α x) = |α| μ_K(x) для всіх α) досягається, якщо K — збалансована множина, тобто α K ⊂ K для всіх |α| ≤ 1.

Властивості

Функціонал Мінковського можна використовувати для задання топології в просторі, так як для опуклих замкнених множин K, що містять 0, він має властивості напівнорми. Він також дозволяє встановити відповідність (один із проявів двоїстості Мінковського) між множинами в X і X^*, оскільки володіє властивостями опорної функції в зв'язаному просторі. Нехай X — скінченновимірний евклідів простір. Для будь-якої множини K з X визначимо спряжену множину K^* з X^* як множину, опорна функція s (p, K^*) якої на векторах p з X збігається з p_K:

$\forall p\in X~s(p,K^{*})=\mu _{K}(p)$

При цьому для будь-якого опуклого замкнутого збалансованого K

$\ K^{**}=K$

Це визначення також можна поширити на нескінченновимірні рефлексивні простори. При цьому, однак, виникає деяка складність, так як простір X ** містить елементи, що не лежать в X. Можна довизначити опорну функцію на K *, поклавши її для таких векторів рівною 0. Тоді при природному вкладенні X в X ** образ K збігається з K ** (при опуклості і збалансованості).

Посилання

Інші прояви двоїстості Мінковського:

• Перетворення Лежандра

Література

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.