Теорема про кінетичну енергію системи

одна із загальних теорем динаміки, наслідок законів Ньютона

Теорема про кінетичну енергію системи — одна із загальних теорем динаміки, наслідок законів Ньютона. Пов'язує кінетичну енергію механічної системи з роботою сил, що діють на тіла, які становлять систему. Системою, про яку йдеться, може виступати будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл[1][2].

Формулювання теореми ред.

Кінетичною енергією системи називають суму кінетичних енергій усіх тіл, що входять до системи. Для визначеної в такий спосіб величини справедливе твердження[1][2]:

Зміна кінетичної енергії системи дорівнює роботі всіх внутрішніх та зовнішніх сил, що діють на тіла системи.

Теорема допускає узагальнення на випадок неінерційних систем відліку. У цьому випадку до роботи всіх зовнішніх і внутрішніх сил необхідно додати роботу переносних сил інерції (коріолісові сили інерції не можуть виконувати роботу)[3].

Доведення теореми ред.

Розглянемо систему матеріальних точок із масами  , швидкостями   та кінетичними енергіями  . Для малої зміни кінетичної енергії (диференціала), що відбувається протягом деякого малого проміжку часу   буде виконуватися

 

Враховуючи що   являє собою прискорення  -ої точки  , а   — переміщення тієї ж точки   за час  , отриманий вираз можна записати у вигляді:

 

Використовуючи другий закон Ньютона і позначаючи рівнодійну всіх сил, що діють на точку, як  , отримуємо

 

а потім, відповідно до визначення роботи  ,

 

Підсумовування всіх рівнянь такого вигляду, записаних для кожної з матеріальних точок, приводить до формули зміни повної кінетичної енергії системи:

 

Ця рівність виражає твердження теореми про зміну кінетичної енергії системи в диференціальному вигляді.

Проінтегрувавши обидві частини рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими   і  , отримаємо вираз теореми про зміну кінетичної енергії в інтегральній формі:

 

де   і   — Значення кінетичної енергії системи в моменти часу   і   відповідно.

Підкреслимо, що тут, на відміну від випадків теореми про зміну кількості руху системи та теореми про рух центра мас системи, враховується робота не лише зовнішніх, але й внутрішніх сил.

Закон збереження механічної енергії ред.

Окремий інтерес становлять системи, в яких на тіла діють потенціальні сили[4]. Для таких сил уводиться поняття потенціальної енергії, зміна якої в разі однієї матеріальної точки за визначенням задовольняє співвідношенню:

 

де   і   — значення потенціальної енергії точки в початковому і кінцевому станах відповідно, а   — робота потенціальної сили, що виконується при переміщенні точки з початкового стану в кінцевий.

Зміна потенційної енергії системи отримується як сума змін енергії всіх тіл системи:

 

Якщо всі внутрішні та зовнішні сили, що діють на тіла системи, потенціальні[5], то

 

Підставляючи отриманий вираз у рівняння теореми про кінетичну енергію, отримаємо:

 

або, що те саме

 

Інакше кажучи, виходить, що для повної механічної енергії системи   виконується

 

Отже, можна зробити висновок:

Якщо на тіла системи діють лише потенціальні сили, то повна механічна енергія системи зберігається.

Це твердження й становить зміст закону збереження механічної енергії, який є наслідком теореми про кінетичну енергію і одночасно окремим випадком загального фізичного закону збереження енергії[1][2].

Випадок системи з ідеальними стаціонарними зв'язками ред.

У тих випадках, коли предметом вивчення є лише рух системи, а реакції зв'язків не цікаві, користуються формулюванням теореми для системи з ідеальними стаціонарними зв'язками, яка виводиться з урахуванням принципу д'Аламбера — Лагранжа.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи з ідеальними стаціонарними зв'язками стверджує:

Диференціал кінетичної енергії системи з ідеальними стаціонарними зв'язками дорівнює сумі елементарних робіт на дійсних переміщеннях зовнішніх і внутрішніх сил, що діють.

Теорема доводиться в такий спосіб. Замінюючи в загальному рівнянні динаміки   на  , отримуємо:

 

або

 

Оскільки  , отримуємо остаточно:

 

Верхні значки в цих виразах означають:   — активна (тобто, така, що не є реакцією зв'язків) сила,   (від англ. external) та   (від англ. internal) — відповідно, зовнішня та внутрішня сила.

Див. також ред.

Примітки ред.

  1. а б в Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М. : Высшая школа, 1995. — С. 301—323. — ISBN 5-06-003117-9.
  2. а б в Журавлёв В. Ф.[ru]. Основы теоретической механики. — М. : Физматлит, 2001. — С. 70-71. — ISBN 5-95052-041-3.
  3. Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 262
  4. Нагадаємо, що сили називають потенціальними, якщо робота, яку вони виконують під час переміщення матеріальної точки, визначається лише початковим і кінцевим положеннями точки і не залежить від вибору траєкторії.
  5. Тобто, дисипативні сили відсутні.