Відкрити головне меню

Си́ла іне́рції — сила спротиву тіла активній силі, яка намагається його прискорити.

,

де  — сила інерції, m — маса тіла,  — прискорення тіла, яке здійснила зовнішня сила.

Сили інерції реальні, бо вони в неінерційній системі координат можуть здійснювати роботу.[1]

Всі реально існуючи системи відліку неінерційні і у всіх них діють реальні пасивні сили інерції у повній відповідності з третім законом Ньютона.

Зміст

Сила інерції в системі, що обертаєтьсяРедагувати

У системі, що обертається довкола осі, сила інерції набирає вигляд:

  ,

де   кутова швидкість, а v швидкість об'єкта в системі, що обертається.
Перший доданок у формулі (1) називається силою Коріоліса, ця сила перпендикулярна до швидкості. Другий доданок — це відцентрова сила, а третій враховує кутове прискорення неінерційної системи координат.

Виведення формул виходячи з класичної механікиРедагувати

Координати і радіус-векторРедагувати

Нехай ми маємо інерційну систему координат  , яку будемо вважати нерухомою і радіус-вектор від початку цієї системи координат до довільної точки простору позначимо великою буквою  .
Одночасно будемо розглядати і рухому систему координат  , початок координат якої   рухається з часом:

 

а координатні вектори   якої утворюють ортонормований базис, який якось обертається з часом:

 

Радіус-вектор   відносно початку рухомої системи координат можна розкласти за цим базисом, коефіцієнтами розкладу будуть координати рухомої системи координат:

 

Остання рівність — це запис формули (4) в матричній формі, матриця   складається з координат базисних векторів наступним чином:

 

Як відомо з курсу лінійної алгебри, така матриця буде ортогональною, і обернена до неї матриця збігається з транспонованою. Дійсно, множачи матрицю   зліва на її транспоновану  , одержимо матрицю Грамма, яка складається зі скалярних добутків:

 

а матриця Грамма дорівнює одиничній матриці оскільки наші базисні вектори взаємно ортогональні і мають одиничні довжини. Отже:

 

Підсумовуючи сказане, запишемо радіус-вектор довільної точки простору через координати рухомої ситеми координат:

 

ШвидкістьРедагувати

Продиференціюємо формулу (8) по часу:

 

Позначимо через   швидкість руху початку координат:

 

Далі, середній доданок в формулі (8) є вектором швидкості точки з координатами   відносно рухомої системи координат, позначимо її буквою  :

 

Залишилося розібратися з першим доданком у формулі (9). Очевидно, що похідна матриці   має бути пропорційною вектору кутової швидкості  . Але як саме? Спробуємо записати таку матричну рівність:

 

де   — деяка матриця. Ясно, що ми завжди можемо записати (12), оскільки матриця   невироджена і тому   однозначно знаходиться за відомою матрицею   та її похідною:

 

Ця матриця антисиметрична, оскільки:

 

В антисиметричній матриці третього порядку є лише   три незалежні відмінні від нуля компоненти. Якщо ми їх позначимо наступним чином:

 

то дія такої матриці на вектор дорівнюватиме векторному добутку   на цей вектор:

 

Тепер формулу (9) ми можемо переписати так:

 

При записі останньої рівності ми скористалися формулами (4) і (16). Як бачимо, справжня (абсолютна швидкість) матеріальної точки складається з трьох доданків: швидкості  , повязаної з обертанням рухомої системи координат; швидкості   відносно цієї системи координат; та поступальної швидкості   з якою рухається початок координат  .

ПрискоренняРедагувати

Продиференціюємо формулу (9) ще раз, одержимо:

 

Обчислимо спочатку перший доданок формули (18):

 

Переходячи від матричних позначень до векторних за формулою (16), знаходимо:

 

Далі обчислюємо другий доданок, врахувавши формулу (11):

 

Третій доданок дорівнює прискоренню   відносно рухомої системи координат:

 

Нарешті останній доданок враховує поступальне прискорення   початку координат рухомої системи.

СилиРедагувати

Ліва частина формули (18) є прискоренням   в нерухомій (інерціальній) системі координат, а тому для цього прискорення ми можемо записати другий закон Ньютона:

 

де   — рівнодійна усіх справжніх сил. З формул (18-23) одержуємо:

 

Вивід формул виходячи із загальної теорії відносностіРедагувати

Формула (1) є формулою класичної механіки, і її можна виводити не звертаючись до теорії відносності. Але вивід цієї (але вже уточненої) формули не складно зробити і в теорії відносності, чим ми і займемся. Виходячи з принципу еквівалентності, в довільній (в тому числі криволінійній) системі координат, добуток маси матеріальної точки на прискорення дорівнює:

 

де   — власний час матеріальної точки, перший доданок (з символами Крістофеля) в правій стороні формули (25) відповідає силам інерції та гравітації, а другий доданок — це реальні сили  .
Зосередимося на силах інерції, поклавши  , а також вважаючи простір-час плоским, тобто відсутня гравітація, яка виникає внаслідок викривлення простору-часу. В плоскому просторі-часі можна обрати інерційну декартову систему координат  , де перша координата напрямлена вздовж осі часу  , а решта — це три просторові координати  
В цій системі координат метричний тензор є константою, тобто метрикою Мінковського:

 

і всі символи Крістофеля дорівнюють нулю. В цій системі координат, згідно з (25), сили інерції дорівнюють нулю.
Розглянемо тепер іншу систему координат  , в ній символи Крістофеля дорівнюють:

 

Чотиривимірні координатиРедагувати

Будемо вважати цю нову систему координат рухомою і декартовою щодо просторових координат, тобто функції переходу від рухомої до абсолютної системи координат   даються формулами аналогічними (8):

 
 
 
 

де коефіцієнти   (при  ) залежать тільки від часу, тобто від нульової координати  :

 

і коефіцієнти   разом утворюють тривимірну ортогональну матрицю. Підставляючи функції (28) в (27), ми можемо обчислити всі коефіцієнти Крістофеля, а отже і траєкторію руху матеріальної точки за формулою (25), не вдаючись до аналізу сил інерції.
Тут ми обчислимо тільки матрицю переходу   між цими системами координат, відокремлюючи часову координату від просторових:

 
 

В формулах (30), (31) індекси   пробігають просторові компоненти  . У формулі (31) через   позначено швидкість точок рухомої системи координат відносно нерухомої:

 

Тривимірний образ сил інерціїРедагувати

Величина з одним індексом:

 

подібна до 4-вектора, але «неправильно» змінюються при заміні координат. Зафіксувавши нашу рухому систему координат  , ми можемо розглянути два геометричні об'єкти: 4-вектор   і тривимірну гіперповерхню (в даному разі це гіперплощина), яка залежить від трьох параметрів   при фіксованому часі  . Ми можемо ортогонально спроектувати   на цю гіперповерхню, і одержати тривимірний вектор сили інерції. Координати цього вектора будуть виражатися через коваріантні координати псевдовектора

 

Докладніше про це у статті «Тривимірні тензори всередині чотиривимірних». Отже маємо вираз сили інерції через символи Крістофеля з нижніми індексами:

 

Цю формулу ми розглядаємо, обмежившись просторовими значеннями індекса   Символи Крістофеля обчислюються через метричний тензор за формулою:

 

Отже нам треба спочатку обчислити метричний   тензор в рухомій системі координат.

Метрика в неінерційній системі відлікуРедагувати

Оскільки в абсолютній системі координат метричний тензор дорівнює метриці Мінковського (26), ми можемо за тензорними правилами перерахувати цей тензор в рухому систему координат:

 

Якщо обидва індекси   набувають просторових значень  , то перший доданок дорівнюватиме нулю згідно з (30). Знаходимо:

 

оскільки матриця   ортогональна. Далі, знаходимо мішані просторово-часові компоненти метричного тензора, тут також перший доданок в правій частині формули (37) перетворюється в нуль:

 

тобто дорівнюють компонентам швидкості   в рухомій системі координат. Нарешті, часова компонента метричного тензора дорівнює:

 

Формули (38-40) повністю описують метричний тензор, який ми тепер можемо зобразити у вигляді матриці:

 

Користуючись метричним тензором ми можемо обчислити диференціал власного часу матеріальної точки:

 
 

Продовження обчислень сил інерціїРедагувати

Розділимо суму в правій частині формули (35) на три доданки, відокремлюючи доданки з просторовими координатами від доданків з часовою координатою:

 

Почнемо аналіз цієї формули з останнього доданка. Оскільки символи Крістофеля обчислюються за формулою (36), а просторова частина метричного тензора є константою (38), то символи Крістофеля перетворюються в нуль і останній доданок у формулі (44) зникає. Далі розглянемо середній доданок — він пропорційний швидкості а тому є силою Коріоліса. Знаходимо відповідний символ Крістофеля:

 

Перший доданок у формулі (45) дорівнює нулю внаслідок (38), а решта два доданки в сумі дають деяку тривимірну антисиметричну за індексами   матрицю. Ця матриця є по-перше, компонентами ротора векторного поля  , обчисленими в рухомій системі координат; а по-друге, ця матриця з точністю до постійного множника   збігається з матрицею   (формула (13)), але компоненти якої обчислені в рухомій системі координат:

 
 

Отже сила Коріоліса дорівнює:

 

Враховуючи формулу (43), ми можемо записати цю формулу у векторному вигляді:

 

Обчислимо, нарешті, перший доданок у формулі (44). Для цього знаходимо відповідний символ Крістофеля:

 

Розпишемо докладніше обидва доданки цієї формули, підставляючи вираз для   із формули (32) і виконуючи диференціювання. Перший доданок дорівнює:

 

а другий:

 

Як бачимо, доданок (51) знищується з першим доданком в правій частині формули (50). Отже для символу Крістофеля маємо:

 

Враховуючи формулу (20), формула (52) є просто координатою (відносно рухомої системи координат) наступного тривимірного вектора:

 

Отже у векторному виді перший доданок (44) запишеться так:

 

Підставляючи (48) і (55) в формулу (44), і згадуючи, що третій доданок в правій частині (44) дорівнює нулю, одержуємо остаточний вираз для сил інерції:

 

Порівняємо цю формулу з формулою (24), одержаною в класичній механіці. Єдиною відмінністю є знаменник в (56), який враховує уповільнення часу (формула 43), що пов'язане з рухом матеріальної точки.

Цікаво, що в формулі (56) для системи координат, що обертається, знаменник може перетворитися в нуль або стати від'ємним. Адже далеко від осі обертання швидкість рухомої системи координат відносно нерухомої може перевищити швидкість світла. Ясно, що на таких відстанях не може існувати матеріального тіла, яке б рухалося разом із системою координат — в цьому разі і система координат, і сила (56) стають не більше ніж математичною абстракцією, що не має фізичного трактування.

ПриміткиРедагувати

  1. С. Э. Хайкин, Силы инерции и невесомость, Изд-во: Наука, Главная редакция физ.-мат. литературы, М., 1967, 312с.

ДжерелаРедагувати

  • Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.