Теорема найбільшої ваги

У теорії представлення, галузі математики, теорема найбільшої ваги класифікує незвідні представлення складної напівпростої алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ . Існує тісно пов’язана теорема, що класифікує незвідні представлення пов'язаної компактної групи Лі $K$ . У теоремі зазначається, що існує бієкція

$\lambda \mapsto [V^{\lambda }]$

з множини "домінуючих інтегральних елементів" на множину класів еквівалентності незвідних представлень ${\mathfrak {g}}$ або $K$ . Різниця між двома результатами полягає в точному понятті "інтеграл" у визначенні домінуючого інтегрального елемента. Якщо $K$ просто зв'язана, ця відмінність зникає.

Твердження

Нехай ${\mathfrak {g}}$ - скінченновимірна напівпроста складна алгебра Лі з підалгеброю Картана ${\mathfrak {h}}$ . Нехай $R$ - пов'язана система коренів. Потім ми кажемо, що елемент $\lambda \in {\mathfrak {h}}$ є інтегральним , якщо

$2{\frac {\langle \lambda ,\alpha \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}$

- ціле число для кожного кореня $\alpha$ . Далі вибираємо набір $R^{+}$ додатних коренів, і говоримо, що елемент $\lambda \in {\mathfrak {h}}$ є домінуючим, якщо $\langle \lambda ,\alpha \rangle \geq 0$ для усіх $\alpha \in R^{+}$ . Елемент $\lambda \in {\mathfrak {h}}$ є домінуючим інтегралом, якщо він є і домінуючим, і інтегральним. Нарешті, якщо $\lambda$ і $\mu$ знаходяться в ${\mathfrak {h}}$, ми говоримо, що $\lambda$ більше ніж $\mu$, якщо $\lambda -\mu$ може бути вираженим лінійною комбінацією додатних коренів з від'ємними реальними коефіцієнтами.

Вага $\lambda$ представлення $V$ з ${\mathfrak {g}}$ тоді називається найбільшою вагою, якщо $\lambda$ більше, ніж будь-яка інша вага $\mu$ з $V$ .

Тоді теорема про найбільшу вагу констатує:

• Якщо $V$ є незвідним скінченновимірним представленням ${\mathfrak {g}}$, то $V$ має унікальну найбільшу вагу, і ця найбільша вага є домінуючим інтегралом.
• Якщо два незвідні скінченновимірні представлення мають однакову найбільшу вагу, вони є ізоморфними.
• Для кожного домінуючого інтегрального елемента $\lambda$, існує скінченновимірне незвідне представлення з найбільшою вагою $\lambda$ .

Найскладніша частина - остання; побудова скінченновимірні незвідного представлення.

Випадок компактної групи

Нехай $K$ сполучене компактною групою Лі з алгеброю Лі ${\mathfrak {k}}$ і нехай ${\mathfrak {g}}:={\mathfrak {k}}+i{\mathfrak {k}}$ - комплексифікація ${\mathfrak {g}}$. Нехай $T$ -максимальним тором в $K$ з алгеброю Лі ${\mathfrak {t}}$ . Тоді ${\mathfrak {h}}:={\mathfrak {t}}+i{\mathfrak {t}}$ є підалгеброю Картана ${\mathfrak {g}}$, і ми можемо сформувати зв'язану кореневу систему $R$ . Тоді теорія продовжується приблизно так само, як і у випадку алгебри Лі, з однією суттєвою різницею: поняття цілісності інше. Зокрема, ми говоримо, що елемент $\lambda \in {\mathfrak {h}}$ є аналітично цілісним якщо

$\langle \lambda ,H\rangle$

- це ціле число завжди, коли

$e^{2\pi H}=I$

де $I$ є елементом ідентичності $K$ . Кожен аналітично цілісний елемент є цілісним у сенсі алгебри Лі, але можуть бути цілісні елементи в сенсі алгебри Лі, які не є аналітично цілісними. Ця відмінність відображає той факт, що якщо $K$ не є просто зв'язаним, можуть бути представлення ${\mathfrak {g}}$, які не походять від представлень $K$ . З іншого боку, якщо $K$ просто зв'язаний, поняття "цілісний" і "аналітично цілісний" збігаються.

Теорема найбільшої ваги для представлень $K$ тоді є таким самим, як і у випадку алгебри Лі, за винятком того, що "цілісний" замінюється на "аналітично цілісний".

Доведення

Є щонайменше чотири доведення:

• Оригінальне доведення Германа Вейля з точки зору компактної групи, засноване на формулі характеру Вейля та теоремі Пітера – Вейля .
• Теорія модулів Верми містить теорему найвищої ваги. Такий підхід застосовується у багатьох стандартних підручниках (наприклад, Хамфріс та частина II Холу).
• Теорема Бореля – Вайля – Ботта будує незвідне представлення як простір глобальних ділянок простого лінійного пучка; як наслідок випливає теорема найбільшої ваги. (Підхід використовує алгебраїчну геометрію, але дає дуже швидкий доказ.)
• Інваріантний теоретичний підхід: конструюються незвідні предствлення як субпредставлення тензорної потужності стандартних представлень. Такий підхід пов'язаний з Х. Вейлом і досить добре працює для класичних груп.

Дивись також

• Класифікація скінченновимірних представлень алгебри Лі
• Теорія представлення зв'язаної компактної групи Лі
• Ваги в теорії представлення напівпростих алгебр Лі

Список літератури

• Dixmier, Jacques (1996) [1974], Enveloping algebras, Graduate Studies in Mathematics, т. 11, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0560-2, MR 0498740 Dixmier, Jacques (1996) [1974], Enveloping algebras, Graduate Studies in Mathematics, т. 11, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0560-2, MR 0498740 Dixmier, Jacques (1996) [1974], Enveloping algebras, Graduate Studies in Mathematics, т. 11, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0560-2, MR 0498740
• Fulton, William ; Харріс, Джо (1991). Теорія репрезентації Перший курс . Випускники тексти з математики, читання з математики. 129 . Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN   Fulton, William Fulton, WilliamMICTEP   1153249 . OCLC   246650103 .
• Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (вид. 2nd), Springer, ISBN 978-3319134666 Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (вид. 2nd), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James E. (1972a), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7 Humphreys, James E. (1972a), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7 .