Теорема Мінковського

Теорема Мінковського про опукле тіло  - один із найбільш фундаментальних результатів теорії чисел, основа геометричної теорії чисел. Теорема була доведена в 1896 році німецьким математиком Германом Мінковським в його фундаментальній роботі "Геометрія чисел".

Формулювання

Нехай L - ґратка, визначинк якої дорівнює $det(L)$ та S - опукла симетрична підмножина простору $\mathbb {R} ^{n}$. Теорема Мінковського стверджує, що якщо міра множини S більша за $2^{n}\det(L)$, тоді існує ненульовий елемент $l\in L\cap S$.

Застосування теореми

У теорії чисел теорему застосовують, щоб пов'язати локальні властивості певної алгебраїчної сисетми із її глобальними властивостями. Класичною ілюстрацією таких міркувань є теорема Ферма про суму двох квадратів.

Теорема Ферма

Нехай $p$ - просте натуральне число. Існує пара чисел $(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}$ така що $p=a^{2}+b^{2}$ тоді й лише тоді, коли $p\equiv 1{\bmod {4}}$.

Доведення

Нехай $p=a^{2}+b^{2}$, тоді $-1$ є квадратом в полі $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$. Обчислюючи значення символу Лежандра для $-1$, маємо $(-1)^{\frac {p-1}{4}}=1$. Таким чином, обов'язково виконується рівність $p\equiv 1{\bmod {4}}$.

У зворотньому напрямку, припустимо що $p\equiv 1{\bmod {4}}$. Тоді $-1$ є квадратом в полі $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$, тож існує $u\in \mathbb {Z}$, таке що $u^{2}\equiv 1{\bmod {p}}$. Розглянемо ґратку $L~=~\{(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid a\equiv ub{\bmod {p}}\}$ та відкритий диск $D$ радіусу ${\sqrt {2p}}$. Диск є опуклою симетричною множиною та його міра задовольняє нерівності $\mu (D)\geq 4\det(L)$. Таким чином, для ґратки $L$ та диска $D$ справедлива теорема Мінковського. Відтак, за теоремою існує ненульовий вектор $(a,b)\in L\cap D$. Оскільки $(a,b)\in D$, то має місце нерівність $a^{2}+b^{2}<2p$. Одночасно $p\mid a^{2}+b^{2}$, так як $(a,b)\in L$. Таким чином, $p=a^{2}+b^{2}$.

Пов'язані результати

Зазначимо, що теорема Мінковського не тільки доводить існування розкладу в суму двох квадратів для простих чисел конгруентних одиниці по модулю чотири, але й надає практичний спосіб знаходження даного розкладу. Дійсно, така пара чисел $(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}$ є найкоротшим вектором ґратки $L$. Отже, можна застосувати алгоритми пошуку найкоротшого вектору в ґратках. У цьому випадку $L$ - це ґратка розмірності $2$, тож розклад в суму двох квадратів можна знайти за допомогою алгоритму Гауса--Лагранжа.

Застосовуючи квадратичний закон взаємності разом із теоремою Мінковського можна довести інші цікаві теореми теорії чисел.

Просте непарне число $p$ можна розкласти як $a^{2}+2b^{2}$ для певної пари $(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}$ тоді й лише тоді, коли $p\equiv 1,3{\bmod {8}}$.

Просте число $p\neq 3$ можна розкласти як $a^{2}+3b^{2}$ тоді й лише тоді, $p\equiv 1{\bmod {3}}$.

Узагальнення

Узагальненням теореми Мінковського на неопуклі множини є теорема Вліхфельдта.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Германа Мінковського
• Ґратка_(геометрія)
• Квадратичний закон взаємності