Відкрити головне меню

Квадратичний закон взаємності

ТвердженняРедагувати

Елементарне твердженняРедагувати

Нехай маємо два різні прості числа p і q. Тоді квадратичний закон взаємності стверджує, що:

  • Якщо хоча б одне з чисел p і q є рівним 1 за модулем 4, тоді рівняння щодо невідомої x :
 
має розв'язок тоді й лише тоді коли має розв'язок щодо невідомої y наступне рівняння:
 
  • Якщо p і q рівні 3 за модулем 4, тоді рівняння щодо невідомої x :
 
має розв'язок тоді й лише тоді коли рівняння щодо невідомої y :
 
не має розв'язку.

Твердження за допомогою символу ЛежандраРедагувати

З використанням символу Лежандра, твердження закону може бути записано :

 

Також існує два доповнення до закону:

      і      

ПрикладиРедагувати

Для простих чиселРедагувати

Нехай p буде рівне 11 а q рівне 19, i тоді   (оскільки  ). Далі  , і оскільки 2 не є квадратичним лишком за модулем 3 маємо:  . Тобто одержуємо, що 11 є квадратичним лишком за модулем 19. Це твердження легко можна перевірити:  

Загальний випадокРедагувати

Покажемо що 219 є квадратичним лишком за модулем 383. З властивостей символу Лежандра маємо :

 

Використання квадратичного закону взаємності дає рівність :

 

Подальше використання закону та властивостей символу Лежандра приводить до необхідного результату :

 

Див. такожРедагувати