Квадратичний закон взаємності

В математиці, а точніше в теорії чисел, квадратичний закон взаємності — твердження, що стосується розв'язності квадратичних рівнянь у модульній арифметиці .

ТвердженняРедагувати

Елементарне твердженняРедагувати

Нехай маємо два різних простих числа p і q. Тоді квадратичний закон взаємності стверджує, що:

  • Якщо хоча б одне з чисел p і q є рівним 1 за модулем 4, то рівняння відносно невідомого x:
 
має розв'язок тоді й лише тоді, коли має розв'язок відносно невідомого y таке рівняння:
 
  • Якщо p і q рівні 3 за модулем 4, то рівняння відносно невідомого x:
 
має розв'язок тоді й лише тоді, коли рівняння відносно невідомого y:
 
не має розв'язку.

Твердження за допомогою символу ЛежандраРедагувати

З використанням символу Лежандра, твердження закону можна записати так:

 

Також існує два доповнення до закону:

      і      

ПрикладиРедагувати

Для простих чиселРедагувати

Нехай p дорівнює 11, а q дорівнює 19, i тоді   (оскільки  ). Далі  , і, оскільки 2 не є квадратичним лишком за модулем 3, маємо:  . Тобто одержуємо, що 11 є квадратичним лишком за модулем 19. Це твердження легко можна перевірити:  

Загальний випадокРедагувати

Покажемо, що 219 є квадратичним лишком за модулем 383. Із властивостей символу Лежандра маємо:

 

Використання квадратичного закону взаємності дає рівність:

 

Подальше використання закону та властивостей символу Лежандра приводить до необхідного результату:

 

Див. такожРедагувати