Твердження
ред.
Нехай:
неперервною в
H
×
H
:
{\displaystyle {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}:}
∃
M
>
0
:
∀
(
u
,
v
)
∈
H
2
|
a
(
u
,
v
)
|
≤
M
⋅
‖
u
‖
⋅
‖
v
‖
;
{\displaystyle \exists M>0:\quad \forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\quad |a(u,v)|\leq M\cdot \|u\|\cdot \|v\|;}
коерцивною в
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
∃
m
>
0
:
∀
u
∈
H
a
(
u
,
u
)
≥
m
⋅
‖
u
‖
2
;
{\displaystyle \exists m>0:\quad \forall u\in {\mathcal {H}}\quad a(u,u)\geq m\cdot \|u\|^{2};}
ℓ
{\displaystyle \ell }
лінійною формою у
H
.
{\displaystyle {\mathcal {H}}.}
Тоді існує єдиний елемент
x
∈
H
{\displaystyle x\in {\mathcal {H}}}
a
(
x
,
y
)
=
ℓ
(
y
)
{\displaystyle a(x,y)=\ell (y)}
y
∈
H
:
{\displaystyle y\in {\mathcal {H}}:}
∃
!
x
∈
H
:
∀
y
∈
H
a
(
x
,
y
)
=
ℓ
(
y
)
.
{\displaystyle \exists !x\in {\mathcal {H}}:\quad \forall y\in {\mathcal {H}}\quad a(x,y)=\ell (y).}
‖
x
‖
≤
1
m
⋅
‖
ℓ
‖
⋆
{\displaystyle \|x\|\leq {\frac {1}{m}}\cdot \|\ell \|_{\star }}
Доведення
ред.
Для довільного
x
∈
H
{\displaystyle x\in {\mathcal {H}}}
y
↦
a
(
x
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto a(x,y)}
H
.
{\displaystyle {\mathcal {H}}.}
Тоді, за теоремою Ріса , існує єдиний
z
{\displaystyle z}
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
a
(
x
,
y
)
=
(
z
,
y
)
{\displaystyle a(x,y)=(z,y)}
z
=
A
x
.
{\displaystyle z=Ax.}
A
{\displaystyle A}
(
A
(
λ
1
⋅
x
1
+
λ
2
⋅
x
2
)
,
y
)
=
a
(
λ
1
⋅
x
1
+
λ
2
⋅
x
2
,
y
)
=
=
λ
1
⋅
a
(
x
1
,
y
)
+
λ
2
⋅
a
(
x
2
,
y
)
=
=
λ
1
⋅
(
A
x
1
,
y
)
+
λ
2
⋅
(
A
x
2
,
y
)
=
=
(
λ
1
⋅
A
x
1
+
λ
2
⋅
A
x
2
,
y
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}(A(\lambda _{1}\cdot x_{1}+\lambda _{2}\cdot x_{2}),y)&=a(\lambda _{1}\cdot x_{1}+\lambda _{2}\cdot x_{2},y)=\\&=\lambda _{1}\cdot a(x_{1},y)+\lambda _{2}\cdot a(x_{2},y)=\\&=\lambda _{1}\cdot (Ax_{1},y)+\lambda _{2}\cdot (Ax_{2},y)=\\&=(\lambda _{1}\cdot Ax_{1}+\lambda _{2}\cdot Ax_{2},y),\end{aligned}}}
‖
A
x
‖
=
‖
A
x
‖
2
‖
A
x
‖
=
(
A
x
,
A
x
)
‖
A
x
‖
=
a
(
x
,
A
x
)
‖
A
x
‖
≤
M
⋅
‖
x
‖
⋅
‖
A
x
‖
‖
A
x
‖
=
M
⋅
‖
x
‖
.
{\displaystyle \|Ax\|={\frac {\|Ax\|^{2}}{\|Ax\|}}={\frac {(Ax,Ax)}{\|Ax\|}}={\frac {a(x,Ax)}{\|Ax\|}}\leq {\frac {M\cdot \|x\|\cdot \|Ax\|}{\|Ax\|}}=M\cdot \|x\|.}
Із умови коерцивності випливає, що:
‖
x
‖
=
m
⋅
‖
x
‖
2
m
⋅
‖
x
‖
≤
a
(
x
,
x
)
m
⋅
‖
x
‖
=
(
A
x
,
x
)
m
⋅
‖
x
‖
≤
‖
A
x
‖
⋅
‖
x
‖
m
⋅
‖
x
‖
=
1
m
⋅
‖
A
x
‖
.
{\displaystyle \|x\|={\frac {m\cdot \|x\|^{2}}{m\cdot \|x\|}}\leq {\frac {a(x,x)}{m\cdot \|x\|}}={\frac {(Ax,x)}{m\cdot \|x\|}}\leq {\frac {\|Ax\|\cdot \|x\|}{m\cdot \|x\|}}={\frac {1}{m}}\cdot \|Ax\|.}
На основі цієї нерівності і лінійності випливає:
‖
A
x
−
A
y
‖
=
‖
A
(
x
−
y
)
‖
≥
m
⋅
‖
x
−
y
‖
,
{\displaystyle \|Ax-Ay\|=\|A(x-y)\|\geq m\cdot \|x-y\|,}
A
x
≠
A
y
{\displaystyle Ax\neq Ay}
x
≠
y
.
{\displaystyle x\neq y.}
A
{\displaystyle A}
ін'єктивним відображенням . Також із цієї нерівності випливає, що образ оператора
A
{\displaystyle A}
замкнутим . Справді, якщо y належить замиканню образу оператора, то існує послідовність
x
n
∈
H
{\displaystyle x_{n}\in {\mathcal {H}}}
y
=
lim
n
→
∞
x
n
{\displaystyle y=\lim _{n\to \infty }x_{n}}
A
x
n
{\displaystyle Ax_{n}}
фундаментальною послідовністю і оскільки
‖
A
x
k
−
A
x
n
‖
≥
m
⋅
‖
x
k
−
y
n
‖
,
{\displaystyle \|Ax_{k}-Ax_{n}\|\geq m\cdot \|x_{k}-y_{n}\|,}
x
n
{\displaystyle x_{n}}
x
n
{\displaystyle x_{n}}
x
∈
H
{\displaystyle x\in {\mathcal {H}}}
y
=
A
x
,
{\displaystyle y=Ax,}
y
∈
H
{\displaystyle y\in {\mathcal {H}}}
Ба більше,
A
{\displaystyle A}
сюр'єкція , бо інакше існував би елемент
z
{\displaystyle z}
A
.
{\displaystyle A.}
y
∉
A
x
{\displaystyle y\not \in Ax}
y
0
∈
A
x
,
{\displaystyle y_{0}\in Ax,}
y на образі оператора A . Згідно теорії гільбертових просторів такий
y
0
{\displaystyle y_{0}}
z
=
y
−
y
0
{\displaystyle z=y-y_{0}}
A . Але тоді
m
⋅
‖
z
‖
≤
a
(
z
,
z
)
=
(
A
z
,
z
)
=
0
,
{\displaystyle m\cdot \|z\|\leq a(z,z)=(Az,z)=0,}
m
>
0.
{\displaystyle m>0.}
Нарешті, знову-ж таки з теореми Ріса ,
∀
ℓ
∈
H
∗
:
∃
!
z
∈
H
:
∀
y
∈
H
:
ℓ
(
y
)
=
(
z
,
y
)
,
{\displaystyle \forall \ell \in {\mathcal {H}}^{*}:\quad \exists !z\in {\mathcal {H}}:\quad \forall y\in {\mathcal {H}}:\quad \ell (y)=(z,y),}
A
{\displaystyle A}
x
∈
H
{\displaystyle x\in {\mathcal {H}}}
A
x
=
z
{\displaystyle Ax=z}
a
(
x
,
y
)
=
(
A
x
,
y
)
=
(
z
,
y
)
=
ℓ
(
y
)
.
{\displaystyle a(x,y)=(Ax,y)=(z,y)=\ell (y).}
Також згідно теореми Ріса при цьому
‖
ℓ
‖
⋆
=
‖
A
x
‖
{\displaystyle \|\ell \|_{\star }=\|Ax\|}
‖
A
x
‖
≥
m
⋅
‖
x
‖
,
{\displaystyle \|Ax\|\geq m\cdot \|x\|,}
‖
x
‖
≤
1
m
⋅
‖
ℓ
‖
⋆
{\displaystyle \|x\|\leq {\frac {1}{m}}\cdot \|\ell \|_{\star }}
Див. також
ред.
Література
ред.
