Теорема Лагранжа про обернення рядів

Теорема Лагранжа про обернення рядів — теорема в математичному аналізі про побудову ряду Тейлора для оберненої функції до даної аналітичної функції.

Формулювання теоремиРедагувати

Нехай функцію z від змінної w задано рівнянням

 

де f — аналітична в точці a та f '(a) ≠ 0. Тоді можна подати w у вигляді ряду

 

де

 

Теорема стверджує, що цей ряд має не нульовий радіус збіжності в околі  .

Якщо опустити вимогу аналітичності, формулу можна узагальнити для формальних степеневих рядів.

Теорему довів Лагранж і узагальнив Гансом Бюрман у XVIII столітті.

Якщо f — формальний степеневий ряд, то формула не дає змоги виразити коефіцієнти ряду оберненої функції через коефіцієнти ряду початкової функції. Якщо функції f та g подано формальними степеневими рядами

 

а також f0 = 0 та f1 ≠ 0, то явну формулу для коефіцієнтів оберненого ряду можна подати через поліноми Белла:

 

де          та     — зростаючий факторіал.

ПрикладРедагувати

Алгебричне рівняння степеня p

 

можна розв'язати з отриманням ряду

 

За ознаками збіжності отримаємо радіус збіжності |z| ≤ (p − 1)pp/(p − 1).

ЗастосуванняРедагувати

Ряд Лагранжа—БюрманаРедагувати

Ряд Бюрмана — Лагранжа визначається як розклад голоморфної функції   за степенями іншої голоморфної функції   і є узагальненням ряду Тейлора.

Нехай   і   голоморфні в околі деякої точки  , причому   і   — простий нуль функції  . Тепер виберемо деяку область  , у якій   і   голоморфні, а   однолиста в  . Тоді має місце розклад вигляду:

 

де коефіцієнти   обчислюються за таким виразом:

 

W-функція ЛамбертаРедагувати

Докладніше: W-функція Ламберта

Функція   визначається рівнянням:

 

Застосуємо теорему для отримання ряду Тейлора для   в околі   Приймемо   та   Тоді

 

Отримаємо

 

Радіус збіжності ряду дорівнює   (для основної гілки функції).

Ряд може збігатись і для деяких більших z. Функція   задовольняє рівняння

 

Тоді   можна розкласти в ряд застосувавши теорему. Це дасть ряд для  :

 

  можна обчислити підстановкою   замість z.

Двійкові дереваРедагувати

Розглянемо набір   нерозмічених двійкових дерев . Елемент   це або лист нульового розміру, або кореневий вузол з двома піддеревами. Позначимо через   кількість двійкових дерев на 'вузлах.

Видалення кореня розбиває двійкове дерево на два дерева меншого розміру. З цього виходить функціональне рівняння на породжувальну функцію  

 

Задаючи  , маємо   Застосовуючи теорему з   отримуємо

 

Отже   є nчислом Каталана.

Асимптотичне наближення інтегралівРедагувати

У теоремі Лапласа-Ерделі, яка дає асимптотичне наближення для інтегралів лапласового типу, інверсія функції є важливим кроком.

ДжерелаРедагувати