Схрещений модуль

У математиці, особливо у теорії гомотопій, схрещений модуль складається з груп $G$ та $H$, де $G$ діє на $H$ за допомогою автоморфізмів (дію будемо записувати зліва, $(g,h)\mapsto g\cdot h$), і гомоморфізму цих груп

$d\colon \ H\longrightarrow G,$

який є еквіваріантним відносно дії спряження групи $G$ на себе:

$d(g\cdot h)=gd(h)g^{-1},$

а також задовольняє рівності Пайффера

$d(h_{1})\cdot h_{2}=h_{1}h_{2}h_{1}^{-1}.$

Історія

Схоже, що перша згадка рівності Пайффера для схрещеного модуля була в статті 1941 року Д.Г.К. Уайтхеда 'On adding relations to homotopy groups'. Означення схрещеного модуля було введено в його статті 1946 року. Ці ідеї були добре пророблені в його роботі 'Combinatorial homotopy II' 1949 року, в якій також було введено важливе поняття вільного схрещеного модуля. Ідеї Уайтхеда про схрещені модулі та їх застосування розроблені та пояснені в книзі Брауна, Хіггінса, Сівери 'Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids'. Деякі узагальнені ідеї схрещених модулів розглянуті в статті Джанелідзе.

Приклади

Нехай $N$ — нормальна підгрупа групи $G$. Тоді вкладення

$d\colon \ N\longrightarrow G$

є схрещеним моделем з дією групи $G$ на $N$ спряженнями.

Для довільної групи $G$, модулі над груповим кільцем є схрещеними $G$-модулями з $d=0$.

Для довільної групи $H$, гомоморфізм з $H$ до $\operatorname {Aut} (H)$, який відправляє кожний елемент з $H$ у відповідний внутрішній автоморфізм є схрещеним модулем.

Якщо задане центральне розширення груп

$1\to A\to H\to G\to 1,$

то гомоморфізм: $d\colon H\to G$ разом з дією $G$ на $H$ визначає схрещений модуль. Тому центральні розширення можна розглядати як спеціальні схрещені модулі. Навпаки, схрещений модуль з сюр'єктивним гомоморфізмом визначає центральне розширення.

Нехай $(X,A,x)$ є відміченою парою топологічних просторів (тобто $A$ є підпростором $X$, і $x$ є точкою в $A$), тоді граничний гомоморфізм

$d\colon \pi _{2}(X,A,x)\rightarrow \pi _{1}(A,x)$

з другої відносної гомотопічної групи до фундаментальної групи можна наділити структурою схрещеного модуля. Функтор

$\Pi \colon \ ({\text{пари відмічених просторів}})\rightarrow ({\text{схрещені модулі}})$

задовольняє узагальненій теоремі ван Кампена, тобто зберігає певні кодобутки.

Результат на схрещеному модулі пари може бути інтерпретований наступним чином: якщо

$F\rightarrow E\rightarrow B$

є відміченим розшаруванням просторів, то індукованому відображенню фундаментальних груп

$d\colon \ \pi _{1}(F)\rightarrow \pi _{1}(E)$

можна надати структуру схрещеного модуля. Цей приклад є корисним в алгебраїчній К-теорії. Існують версії цього факту у вищих розмірностях, які використовують поняття $n$-кубів просторів.

Ці приклади наводять на думку, що схрещені модулі можна мислити як 2-вимірні групи. Ця ідея може бути формалізована в термінах теорії категорій. Можна показати, що схрещений модуль це те саме що категоріальна група або 2-група, тобто груповий об'єкт в категорії категорій, що еквівалетно категорному об'єкту в категорії груп. Це означає, що концепт схрещеного модуля є результатом поєднання ідей групи та категорії. Це еквівалентність є важливою для версій вищих розмірностей для груп.

Класифікувальний простір

Кожний схрещений модуль

$M=(d\colon H\longrightarrow G)$

має класифікувальний простір $BM$ з властивістю, що його гомотопічні групи це $\operatorname {Coker} d$ у розмірності $1$, $\operatorname {Ker} d$ у розмірності $2$, і тривіальні групи в розмірностях вище 2. Можливо описати гомотопічні класи відображень з $CW$-комплексу в $BM$. Це дозволяє довести, що (відмічені, слабкі) гомотопічні 2-типи повністю описуються схрещеними модулями.

Зовнішні лінки

• Baez, J.; Lauda, A. (2003). Higher-dimensional algebra V: 2-groups. arXiv:math.QA/0307200.
• Brown, R. (1999). Groupoids and crossed objects in algebraic topology (PDF). Homology, Homotopy and Applications. 1 (1): 1—78. doi:10.4310/HHA.1999.v1.n1.a1.
• Brown, R. (1982). Higher-dimensional group theory. Low-Dimensional Topology. London Mathematical Society Lecture Note Series. Т. 48. Cambridge University Press. с. 215—240. ISBN 978-0-521-28146-1.
• Brown, R.; Higgins, P.J.; Sivera, R. (2011). Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids. EMS Tracts in Mathematics. Т. 15. arXiv:math/0407275. doi:10.4171/083. ISBN 978-3-03719-583-3.
• Forrester-Barker, M. (2002). Group objects and internal categories. arXiv:math/0212065.
• Noohi, Behrang (2007). Notes on 2-groupoids, 2-groups and crossed modules. Homology, Homotopy and Applications. 9 (1): 75—106. arXiv:math.CT/0512106. doi:10.4310/HHA.2007.v9.n1.a3. S2CID 13604037.

Література

• Whitehead, J.H.C. (1941). On adding relations to homotopy groups. Ann. of Math. 42 (2): 409—428. doi:10.2307/1968907. JSTOR 1968907.
• Whitehead, J.H.C. (1946). Note on a previous paper entitled "On adding relations to homotopy groups". Ann. of Math. 47 (2): 806—810. doi:10.2307/1969237. JSTOR 1969237.
• Whitehead, J.H.C. (1949). Combinatorial homotopy. II. Bull. Amer. Math. Soc. 55 (5): 453—496. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09213-3.
• Janelidze, G. (2003). Internal crossed modules. Georgian Math. J. 10 (1): 99—114. doi:10.1515/GMJ.2003.99. S2CID 125311722.