Гармонічний ряд

В математиці, гармонічним рядом називається нескінченний розбіжний ряд:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots .\!$

Обчислення

$n$-ною частковою сумою $s_{n}$ гармонічного ряду називається $n$-не гармонічне число:

$s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}$

Деякі значення часткових сум

${\begin{matrix}s_{1}&=&1\\\\s_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\s_{3}&=&{\frac {11}{6}}&\approx &1{,}833\\\\s_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\approx &2{,}083\end{matrix}}$

${\begin{matrix}s_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\approx &2{,}283\\\\s_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\s_{7}&=&{\frac {363}{140}}&\approx &2{,}593\\\\s_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\approx &2{,}718\end{matrix}}$

Розбіжність ряду

Гармонічний ряд розбіжний, щоправда розбіжність є дуже повільною (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно близько 10⁴³ елементів ряду).

Доведення 1

Розбіжність ряду можна довести погрупувавши доданки так:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}}$

Останній ряд, очевидно, розбіжний, що доводить твердження.

Доведення 2

Припустимо, що гармонічний ряд збіжний і його сума рівна $~S$:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =S$

Тоді перегрупувавши доданки одержимо:

$S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+\cdots \right)$

Винесемо із других дужок ${\tfrac {1}{2}}$:

$S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)$

Замінимо вираз в других дужках на $~S$:

$S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+{\frac {1}{2}}S$

Перенесемо ${\tfrac {1}{2}}S$ в ліву частину:

${\frac {1}{2}}S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)$

Замінивши $~S$ сумою ряду одержимо:

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots$

Ця рівність хибна, оскільки одиниця більша однієї другої, одна третя більше однієї четвертої, і так далі. Таким чином припущення про збіжність ряду привело до суперечності.

Доведення 3

На початок запишемо суму геометричної прогресії:

${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...$

де |x|<1.

Візьмемо інтеграл з обох сторін, внаслідок чого одержимо:

$-\ln(1-x)=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+...$

Перейшовши до границі при $x\rightarrow 1$ одержуємо рівність:

$-\lim _{x\to 1}\ln(1-x)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$.

Оскільки $-\lim _{x\to 1}\ln(1-x)=-(-\infty )=\infty$, то також має місце $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty$

Тобто гармонічний ряд є розбіжним.

Пов'язані ряди

Знакопереміжний гармонічний ряд

Перші 14 часткових сум знакопереміжного гармонійного ряду (чорні відрізки) збігаються до натурального логарифму 2 (червона пряма).

Ряд

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots$$

називається знакопереміжним гармонічним рядом. Він умовно збіжний за теоремою Лейбніца, але не абсолютно збіжний. Його сума - логарифм від 2.

Використання знаків що чергуються з лише непарними знаменниками дасть пов'язаний ряд Лейбніца для знаходження π

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.$$

Див. також

• Гармонічне число
• Константа Майсселя — Мертенса

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Гармонічний ряд // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 497. — 594 с.