У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна:
Резольвента .
Резольвента алгебричного рівняння
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \,\!f(x)=0}
n — алгебричне рівняння
g
(
y
)
=
0
{\displaystyle \,\!g(y)=0}
f(x) , таке, що знання коренів цього рівняння дозволяє розв'язати початкове рівняння шляхом розв'язання простіших рівнянь (тобто таких, степені яких не більші ніж n ).
Також резольвентою називають раціональний вираз
y
=
y
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle \,\!y=y(x_{1},x_{2},...,x_{n})}
g(y) = 0 ) від коренів вихідного рівняння.
Резольвента рівняння 3-го степеня
ред.
Розглянемо кубічне рівняння
x
3
+
p
x
+
q
=
0
{\displaystyle \ x^{3}+px+q=0}
Будемо шукати його розв'язок у вигляді
x
=
u
+
v
.
{\displaystyle \ x=u+v.}
Отримаємо рівняння
u
3
+
v
3
+
(
3
u
v
+
p
)
(
u
+
v
)
+
q
=
0.
{\displaystyle \ u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.}
Введемо додаткову умову для змінних
3
u
v
+
p
=
0
,
{\displaystyle \ 3uv+p=0,}
В утвореній системі
{
u
3
+
v
3
=
−
q
u
3
v
3
=
−
p
3
27
{\displaystyle {\begin{cases}u^{3}+v^{3}=-q\\u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}\end{cases}}}
u
3
,
v
3
{\displaystyle \ u^{3},v^{3}}
теоремою Вієта з квадратного рівняння, яке буде резольвентою:
y
2
+
q
y
+
p
3
27
=
0.
{\displaystyle y^{2}+qy+{\frac {p^{3}}{27}}=0.}
Резольвента рівняння 4-го степеня
ред.
Розглянемо рівняння 4-го степеня:
x
4
+
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle \,\!x^{4}+ax^{2}+bx+c=0}
Представимо його у вигляді добутку квадратных тричленів:
(
x
2
+
p
x
+
q
1
)
(
x
2
−
p
x
+
q
2
)
=
0
{\displaystyle \ (x^{2}+px+q_{1})(x^{2}-px+q_{2})=0}
Перемножимо і прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях
x
{\displaystyle \ x}
{
q
1
+
q
2
−
p
2
=
a
p
(
q
2
−
q
1
)
=
b
q
1
q
2
=
c
{\displaystyle {\begin{cases}q_{1}+q_{2}-p^{2}=a\\p(q_{2}-q_{1})=b\\q_{1}q_{2}=c\\\end{cases}}}
З першого і третього отримаємо:
(
q
2
−
q
1
)
2
=
(
p
2
+
a
)
2
−
4
c
{\displaystyle \ (q_{2}-q_{1})^{2}=(p^{2}+a)^{2}-4c}
Підставимо в друге і отримаємо:
p
2
(
(
p
2
+
a
)
2
−
4
c
)
=
b
2
{\displaystyle \ p^{2}((p^{2}+a)^{2}-4c)=b^{2}}
Провівши заміну
y
=
−
p
2
{\displaystyle \ y=-p^{2}}
кубічне рівняння відносно
y
{\displaystyle \ y}
y
3
−
2
a
y
2
+
(
a
2
−
4
c
)
y
+
b
2
=
0
{\displaystyle \ y^{3}-2ay^{2}+(a^{2}-4c)y+b^{2}=0}
Корені резольвенти можуть бути отримані за формулою Кардано .
Використаємо теорему Вієта для квадратних рівнянь, щоб пов'язати корені резольвенти
y
1
,
y
2
,
y
3
{\displaystyle \,\!y_{1},y_{2},y_{3}}
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
{\displaystyle \,\!x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}
{
y
1
=
(
x
1
+
x
2
)
(
x
3
+
x
4
)
y
2
=
(
x
1
+
x
3
)
(
x
2
+
x
4
)
y
3
=
(
x
1
+
x
4
)
(
x
2
+
x
3
)
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})\\y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})\\y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\\\end{cases}}}
або
{
a
−
y
1
=
x
1
x
2
+
x
3
x
4
a
−
y
2
=
x
1
x
3
+
x
2
x
4
a
−
y
3
=
x
1
x
4
+
x
2
x
3
x
1
x
2
x
3
x
4
=
c
{\displaystyle {\begin{cases}a-y_{1}=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}\\a-y_{2}=x_{1}x_{3}+x_{2}x_{4}\\a-y_{3}=x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}\\x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=c\\\end{cases}}}
Див. також
ред.
