Піраміда Серпінського

Піраміда СерпінськогоРедагувати

Піраміда є тривимірним аналогом трикутника Серпінського. Змоделювати її можна шляхом вписування у тетраедр октаедрів. Довжина ребра октаедрів з кожним кроком зменшується у 2 рази. Цей процес можна продовжувати до безкінечності. У такий спосіб можна отримати фрактальний многогранник — Піраміду Серпінського, що має властивість самоподібності.

Тетраедр побудований з початкового тетраедра зі стороною довжини L має таку властивість:

Загальна площа поверхні залишається постійною з кожною ітерацією.

Початкова площа поверхні (ітерація-0) тетраедра сторони довжиною L =  . На наступній ітерації, довжина сторони зменшується в два рази:

 

і ще 4 таких менших тетраєдрів. Таким чином, загальна площа поверхні після першої ітерації рівна:

 

Це твердження залишається вірним після кожної ітерації. Площа поверхні кожного наступного тетраедра становить 1/4 площі тетраедра в попередній ітерації, тобто в 4 рази більше, таким чином, підтримуючи постійну загальну площу поверхні.

Загальний об'єм геометрично зменшується (коефіцієнт 0,5) з кожною ітерацією і наближається до 0, при збільшенні ітерації. Розмірність Хаусдорфа такої конструкції є  , що узгоджується з кінцевою площею фігури.

 
Піраміда Серпінського з квадратом в основі