Піраміда Серпінського

Піраміда Серпінського

Піраміда є тривимірним аналогом трикутника Серпінського. Змоделювати її можна шляхом вписування у тетраедр октаедрів. Довжина ребра октаедрів з кожним кроком зменшується у 2 рази. Цей процес можна продовжувати до нескінченності. У такий спосіб можна отримати фрактальний многогранник — піраміду Серпінського, що має властивість самоподібності.

Тетраедр побудований з початкового тетраедра зі стороною довжини L має таку властивість:

Загальна площа поверхні залишається постійною з кожною ітерацією.

Початкова площа поверхні (ітерація 0) тетраедра сторони довжиною L = $L^{2}{\sqrt {3}}$. На наступній ітерації, довжина сторони зменшується вдвічі:

$L\rightarrow {L \over 2}$

і ще 4 таких менших тетраедрів. Таким чином, загальна площа поверхні після першої ітерації рівна:

$4\left(\left({L \over 2}\right)^{2}{\sqrt {3}}\right)=4{{L^{2}} \over 4}{\sqrt {3}}=L^{2}{\sqrt {3}}.$

Це твердження залишається істинним після кожної ітерації. Площа поверхні кожного наступного тетраедра становить 1/4 площі тетраедра в попередній ітерації, тобто в 4 рази більша, таким чином, підтримуючи сталою загальну площу поверхні.

Загальний об'єм геометрично зменшується (коефіцієнт 0,5) з кожною ітерацією і наближається до 0, при збільшенні числа ітерацій. Розмірність Гаусдорфа такої конструкції є $\textstyle {\frac {\ln 4}{\ln 2}}=2$, що узгоджується зі скінченною площею фігури.

Піраміда Серпінського з квадратом в основі