Проєкція вектора

Вектор проєкції вектора a на ненульовий вектор b (також відомий як компонента вектора) є ортогональною проєкцією на пряму лінію, паралельну b. Вектор, паралельний b, визначається як

,

де є скаляром (називається скалярною проєкцією a на b) та одиничний вектор у напрямку b.

У свою чергу, скалярна проєкція визначається як

,

де оператор · позначає скалярний добуток, |а| — це довжина, і представляє кут між а і b. Скалярний проєкція дорівнює довжині проєкції вектора, зі знаком мінус, якщо напрямок проєкції протилежно напрямку b.

Вектор проєкція а на b іноді позначається ab.

Вектор проєкціїРедагувати

Вектор проєкції а на b є вектором, величина якого скалярна проєкція на b і кут, проти b 0 або 180 градусів.

А саме, визначається як:  , де a1 є відповідна скалярна проєкція, як визначено вище, і b одиничний вектор з тим же напрямком, що і b:

 .

Проєкцією вектора a на інший вектор b є вектор, що обчислюється за формулою

 

Визначення в термінах а та bРедагувати

Коли θ невідомо, косинус θ може бути обчислен в термінах а та b
 

Скалярна проєкціяРедагувати

До вищезазначеної властивості скалярного добутку, визначенням скалярної проєкції стає
 

Вектор проєкціїРедагувати

Аналогічним чином, визначення вектора проєкції а на b стає
 

що еквівалентно

  або[1]
 

Остання формула є більш ефективною для обчислювання, ніж перша. В кожній з формул потрібно обчислювати скалярний добуток і множити скаляр на вектор, але в першій формулі потрібно додатково обчислювати квадратний корінь та ділити вектор на число.[2], в той час коли в останній потрібно лише розділити скаляр на скаляр.

Відкидання вектора

За визначенням,

 

Отже,

 

ВластивостіРедагувати

Скалярна проєкція

Скалярний проєкція a на b є скаляр, який має від'ємний знак, якщо 90 < θ ≤ 180 градусів. Вона збігається з довжиною | C | вектора проєкції, якщо кут менше 90 °. Більш точно:

  • a1 = |a1|, якщо 0 ≤ θ ≤ 90 градусів,
  • a1 = −|a1|, якщо 90 < θ ≤ 180 градусів.

Векторна проєкція

Вектор проєкція а на b вектор a1, який є або нульовим або паралельним b. Більш точно:

  • a1 = 0, якщо θ = 90°,
  • a1 та b мають однаковий напрямок, якщо 0 ≤ θ < 90 градусів,
  • a1 and b мають однаковий напрямок, якщо 90 < θ ≤ 180 градусів.

Уявлення матриціРедагувати

Ортогональна проєкція може бути представлена матрицею проєкції. Для проєктування вектора на одиничний вектор a = (ax, ay, az), потрібно домножити на проєкцію матриці:

 

ВикористанняРедагувати

Проєкція вектора є важливою операцією в процесі Грама — Шмідта ортогоналізації векторних космічних баз. Також використовується в теоремі про розділяючу гіперплощину.

УзагальненняРедагувати

Оскільки поняття довжини вектора і кута між векторами може бути узагальненим на будь-якому n-мірному простору, це вірно і для поняття ортогональної проєкції вектора, проєкції вектора на інший, а також відхилення одного вектора від іншого. У деяких випадках, скалярний добуток збігається з добутком точки. Всякий раз, коли вони не збігаються, то скалярний добуток використовується замість скалярного добутку в формальному визначенні проєкції та відхиленні.

Для отримання тривимірного внутрішнього простору, поняття проєкції вектора на інший і відхилення вектора від іншого може бути узагальнено на поняття проєкції вектора на площину, і відхилення вектора від площини.

Проєкція вектора на площині є її ортогональною проєкцією на цю площину. Відхилення вектора від площини є її ортогональною проєкцією на прямій лінії, ортогональної до цієї площини. Обидва вектора, по-перше, паралельно площині, по-друге ортогонально. Для даного вектора і площини, сума проєкції і відхилення дорівнює вихідному вектору.

Так само для  внутрішніх  просторів у більш ніж трьох вимірах, поняття  проєкції на вектор  та відхилення від вектора можна узагальнити на поняття проєкції на гіперплощину, і відхилення від гіперплощини.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Dot Products and Projections. 
  2. Другий скалярний добуток, квадратний корінь не відображені, але вони потрібні для обчислень;   (більш докладно див. у визначенні Норма (математика))

ПосиланняРедагувати