Скалярна проєкція

У математиці, скалярна проєкція вектора $\mathbf {a}$ на вектор $\mathbf {b}$, яка також називається скалярним компонентом вектора $\mathbf {a}$ по напрямку вектора $\mathbf {b}$, задається у вигляді:

Якщо кут 0° ≤ θ ≤ 90°, то скалярна проєкція a на b збігається з довжиною проєкції вектора.

Векторна проєкція a на b (a₁), вектор відхилення a від b (a₂).

$s=|\mathbf {a} |\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} ,$

де оператор $\cdot$ позначає скалярний добуток, ${\hat {\mathbf {b} }}$ — це одиничний вектор по напрямку $\mathbf {b}$, $|\mathbf {a} |$ — це довжина вектора $\mathbf {a}$, і $\theta$ — кут між $\mathbf {a}$ і $\mathbf {b}$.

Скалярна проєкція — це скаляр, значення якого дорівнює евклідовій нормі ортогональної проєкції вектора $\mathbf {a}$ на $\mathbf {b}$, і береться зі знаком мінус, якщо проєкція має протилежний напрямок відносно напрямку вектора $\mathbf {b}$.

Вектор, отриманий як добуток скалярної проєкції $\mathbf {a}$ на $\mathbf {b}$ на одиничний вектор $\mathbf {\hat {b}}$ називається векторною проєкцією $\mathbf {a}$ на $\mathbf {b}$.

Визначення засноване на куті θ

Якщо відомий кут $\theta$ між векторами $\mathbf {a}$ і $\mathbf {b}$, то скалярна проєкція $\mathbf {a}$ на $\mathbf {b}$ може бути розрахована з використанням такого виразу

$s=|\mathbf {a} |\cos \theta .$

Визначення в термінах a і b

Якщо кут $\theta$ не відомий, косинус $\theta$ може бути розрахований через вектори $\mathbf {a}$ і $\mathbf {b}$, використовуючи таку властивість скалярного добутку $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$:

${\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}=\cos \theta \,$

Згідно з цією властивістю, визначення скалярної проєкції $s\,$ буде виглядати таким чином:

$s=|\mathbf {a} |\cos \theta =|\mathbf {a} |{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\,$

Властивості

Скалярна проєкція матиме негативний знак, якщо $90<\theta \leqslant 180$ градусів. Це збігається з відповідною векторною проєкцією евклідової норми, якщо кут менший за 90°. Більш конкретно, якщо векторна проєкція позначається як $\mathbf {a} _{1}$ а її довжина $|\mathbf {a} _{1}|$:

$s=|\mathbf {a} _{1}|,$ якщо $0<\theta \leqslant 90$ градусів,

$s=-|\mathbf {a} _{1}|,$ якщо $90<\theta \leqslant 180$ градусів.

Див. також

• Скалярний добуток
• Векторний добуток
• Проєкція вектора