Квантиль — одна з числових характеристик випадкових величин, що застосовується в математичній статистиці[1]. Квантилі відсікають в межах ряду певну частину його членів. Тобто, квантиль (термін використаний вперше Кендалом в 1940 р.) розподілення значень — це таке число xp, що значення p-ї частини сукупності менше або рівне xp. Наприклад, квантиль 0.25 (також називається 25-м процентилем або нижнім квартилем) змінної — це таке значення (xp), що 25 % (p) значень змінної потрапляють нижче даного значення[2].

Квантиль
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика
Ідентифікатор NCI Thesaurus C48920
CMNS: Квантиль у Вікісховищі

Визначення ред.

Нехай маємо ймовірнісний простір  , і   — ймовірнісна міра, що задає розподіл деякої випадкової величини  . Нехай зафіксовано  . Тоді  -квантилем (або квантилем рівня  ) розподілу   називається число  , таке що

 .

Зауваження ред.

  • Якщо розподіл неперервний, то  -квантиль однозначно задається рівнянням
 ,
де   — функція розподілу   .
  • Очевидно що для неперервних розподілів справедлива рівність
 ,
що широко використовується при побудові довірчих інтервалів

Види квантилів ред.

Медіани і квартилі ред.

 
Квартилі нормального розподілу
  •  -квантиль називається першим (або нижнім) квартилем;
  •  -квантиль називається медіаною, або другим квартилем;
  •  -квантиль називається третім (або верхнім) квартилем.

Інтерквартильним або міжквартильним розмахом (англ. Interquartile range) називається різниця між третім і першим квартилем, тобто  . Інтерквартильний розмах є характеристикою розкиду розподілу величини. Разом медіана і інтерквартильний розмах можуть бути використані замість математичного сподівання і дисперсії у разі розподілів з великими викидами, або при неможливості обчислення останніх.

Дециль ред.

Дециль характеризує розподіл величин сукупності, при якій дев'ять значень дециля ділять її на десять рівних частин. Будь-яка з цих десяти частин становить 1/10 всієї сукупності. Так, перший дециль відокремлює 10 % найменших величин, лежачих нижче дециля від 90 % найбільших величин, лежачих вище дециля.

Перцентиль ред.

 -им перцентилем називають квантиль рівня  . При цьому зазвичай розглядають перцентилі для цілих  , хоча дана вимога не обов'язкова. Відповідно, медіана є 50-м перцентилем, а перший і третій квартиль — 25-м і 75-м перцентилем. У цілому, поняття квантиль і перцентиль взаємозамінні, також, як і шкали числення вірогідності — абсолютна і процентна. Перцентилі також називаються процентилями або центилями.

Квантилі стандартного нормального розподілу ред.

Імовірність, % 99,99 99,90 99,00 97,72 97,50 95,00 90,00 84,13 50,00
Квантиль 3,715 3,090 2,326 2,000 1,960 1,645 1,282 1,000 0,000

Див. також ред.

Посилання ред.

Примітки ред.

  1. Большая Советская Энциклопедия. Архів оригіналу за 26 Травня 2010. Процитовано 23 Листопада 2010. 
  2. Квантиль // statsoft.ru. Архів оригіналу за 5 листопада 2010. Процитовано 23 листопада 2010.