Міжквартильний розмах

Міжквартильний або інтерквартильний розмах (англ. interquartile range, $IQR$ ) — робастна міра розсіяння, що розраховується на основі процентилів. Поряд з розмахом та медіаною абсолютних відхилень належить до порядкових статистик, бо спирається на сортування (ранжування) даних.

Визначення

Найпростішою мірою розсіяння із порядкових статистик є розмах — різниця між найбільшим та найменшим значенням із вибірки^[1]. Однак розмах дуже чутливий до викидів і тому є не дуже корисною мірою розсіяння.

Щоб запобігти чутливості до викидів, можна вдатися до відкидання з обох боків крайніх значень вибірки після їхнього розташування у варіаційний ряд шляхом перестановки даних таким чином, щоб кожне наступне значення було не меншим за попереднє. Міжквартильний розмах $IQR$ — це різниця між 75-м $x_{75}$ та 25-м $x_{25}$ процентилями^[2]:

$IQR=x_{75}-x_{25}$ .

75-й та 25-й процентилі — це такі значення варіаційного ряду, що 75 та 25 відсотків (процентів) значень варіаційного ряду відповідно приймають значення рівні чи менші за ці значення.

75-й і 25-й процентилі називають ще третім та першим квартилем, тобто міжквартильний розмах — різниця між третім та першим квартилем. Звідси походить термін «міжквартильний».

Приклад

Нехай є вибірка значень 3, 1, 5, 3, 6, 7, 2, 9, варіаційний ряд для якої має вигляд: 1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 9. Оскільки числа 1 та 2 складають 25 % від варіаційного ряду, числа 1, 2, 3, 3, 5 та 6 складають 75 % значень варіаційного ряду, то 75-й процентиль для цього ряду має значення 6, 25-й процентиль — 2. Тоді $IQR$ = 6 — 2 = 4.

Переваги та недоліки

На відміну від розмаху міжквартильний розмах нечутливий до викидів і може використовуватися для розподілів, для яких не існує математичного сподівання і дисперсії. Недоліком цієї міри розсіяння є те, що вона дещо важча для розуміння, ніж розмах. Крім того, міжквартильний розмах незручний для математичних перетворень та для великих вибірок через необхідність ранжування даних вимагає великих затрат обчислювальних ресурсів.

Див. також

Джерела

Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)

Примітки

↑ Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М. : Высш. шк., 2003. — 479 с. ISBN 5-06-004214-6.
↑ Брюс П., Брюс Э. Практическая статистика для специалистов Data Science/Пер. с англ. — СПб: БХВ-Петербург, 2018. — 304 с: ил. ISBN 978-5-9775-3974-6.

[Гмурман_В._Е.-1] Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М. : Высш. шк., 2003. — 479 с. ISBN 5-06-004214-6.

[2] Брюс П., Брюс Э. Практическая статистика для специалистов Data Science/Пер. с англ. — СПб: БХВ-Петербург, 2018. — 304 с: ил. ISBN 978-5-9775-3974-6.

[1]

[2]