Розмах (статистика)

Розмах (англ. range) — в статистиці різниця між найбільшим та найменшим із сукупності числових значень.

Розмах є однією з найпростіших мір розсіяння (розкиду) набору числових значень. Дає інформацію про ширину інтервалу, в якому зосереджений весь набір числових даних, геометрично — ширина відрізка, в якому розташовуються всі значення.

Простота розрахунку, наочність та інтуїтивна зрозумілість цієї характеристики розсіяння значень є очевидною перевагою перед такими мірами розсіяння як дисперсія та середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення). Істотним недоліком розмаху є те, що він не містить інформацію про характер розподілу результатів в інтервалі розсіяння та не стійкий до викидів, що певною мірою обмежує його використання.

Математичний опис

Математично розмах вибірки

$R=x_{max}-x_{min}$,

де $x_{max},x_{min}$- відповідно максимальне та мінімальне значення із вибірки.

Розподіл ймовірностей

Оскільки розмах розраховується через крайні значення вибірки, які є випадковими величинами, він, як і будь-яка інша статистична характеристика, є випадковою величиною. Нехай $x_{1},\ldots ,x_{n}$ — ряд значень вибірки з функцією розподілу $F(x)$ та щільністю ймовірностей $f(x)$. В цьому випадку розмах $R_{n}$ описується функцією розподілу:

$G{\bigl (}\omega {\bigr )}=P\{R_{n}\leq \omega \}=n\int _{-\infty }^{\infty }[F(\omega +x)-F(x)]^{n-1}f(x)\,\mathrm {d} x$.

Розмах та середнє квадратичне відхилення

Якщо значення вибірки розподілені за нормальним законом, то математичне сподівання розмаху

$E{\bigl (}R{\bigr )}=\alpha _{n}\cdot \sigma$,

де $\sigma$ — середнє квадратичне відхилення,

$\alpha _{n}$ — деяка функція обсягу вибірки $n$, яка табульована.

Таблиця. Граничні значення коефіцієнту $\alpha _{n}$ в залежності від обсягу вибірки $n$ для ймовірності 0,95.

$n$	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$\alpha _{n}$	2,77	3,31	3,63	3,86	4,03	4,17	4,29	4,39	4,47

Отже, $E\left(R/\alpha _{n}\right)=\sigma$, що демонструє незміщеність оцінки $R/\alpha _{n}$. За невеликих значень $n$ ($n<10$) ця оцінка параметра $\sigma$ має значну ефективність, однак за великих $n$ вона мало ефективна в порівнянні зі статистичною оцінкою середнього квадратичного відхилення $S$ ($S={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}$).

Практичне значення

Залежність $\sigma \approx R/\alpha _{n}$ використовується для отримання незміщеної оцінки середнього квадратичного відхилення у випадку малих вибірок в метрології, під час статистичного контролю якості на виробництві, статистичного керування процесами тощо.

Під час контролю технологічних процесів та контролю стабільності процесів вимірювання в лабораторіях широко використовуються як один із найекономічніших типів контрольних карт Шухарта контрольні карти розмахів.

Завдяки простоті розрахунку, наочності та зрозумілості розмах як міра розсіяння також широко використовується в описовій статистиці.

Див. також

• Розмах показів
• Медіана абсолютних відхилень

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• О. І. Кушлик-Дивульська, Н. В. Поліщук, Б. П. Орел, П. І. Штабалюк. Теорія ймовірностей та математична статистика: навч. посіб. — К. : НТУУ "КПІ", 2014. — 212 с. — ISBN 978-966-622-654-2.
• Н. В. Смирнов, И. В. Дунин-Барковский. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. — М. : "Наука", 1969. — 512 с.(рос.)

• Gumbel, E. J. (1947). The Distribution of the Range. The Annals of Mathematical Statistics. 18 (3): 5142. doi:10.1214/aoms/1177730387. {{cite journal}}: Вказано більш, ніж один |pages= та |page= (довідка)(англ.)