Задача оптимізації

Зада́ча оптиміза́ції — задача знаходження точки (точок) екстремуму, або декількох екстремумів заданої функції.

Формальне визначення

Нехай задано деяку множину X із n-вимірного евклідового простору і функцію f(x), визначену на X. Необхідно знайти точки мінімуму значень функції f(x) на X. Або:

f(x) → min, x ∈ X.

тут f(x) — цільова функція, X — допустима множина, кожна точка x цієї множини — допустима точка задачі.

Також, задачу оптимізації можна сформулювати як пошук максимуму (максимумів) цільової функції:

f(x) → max, x ∈ X.

ця задача еквівалентна попередній задачі мінімізації цільової функції із знаком мінус, в тому сенсі, що їхні множини розв'язків збігаються.

Розв'язки задачі

Розв'язки задачі можна розділити на дві множини:

глобальні

(глобального мінімуму), це такі допустимі точки x^* в яких цільова функція має найменше значення на всій допустимій області:

f(x^*) ≤ f(x), ∀ x ∈ X;

локальні

(локального мінімуму), це такі допустимі точки x^* в яких цільова функція приймає найменше значення в деякому околі:

f(x^*) ≤ f(x), ∀ x ∈ X ∩ U_ε(x^*),

Де U_ε(x^*) = {x ∈ Rⁿ | ‖x — x^*‖ ≤ ε} — куля радіусу ε в центрі x^*.

Вільне ПЗ для розв'язування задач чисельної оптимізації

• OpenOpt^{[недоступне посилання з квітня 2019]} (Ліцензія BSD, див. також вступ українською мовою)

Джерела

• Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. — М. : Высшая школа, 1986.

Див. також

• Задача безумовної оптимізації
• Задача умовної оптимізації
• Задача математичного програмування
• Задача опуклого програмування
• Чисельні методи оптимізації
• Багатокритеріальна оптимізація
• Тестові функції для оптимізації