Множина розв'язків

множина значень, які задовольняють заданому набору рівнянь або нерівностей

У математиці множина розв'язків — це множина значень, які задовольняють заданому набору рівнянь або нерівностей.

Наприклад, для набору многочленів над кільцем , множина розв'язків є підмножиною на якій всі поліноми перетворюються на нуль, формально

Допустимий регіон задачі оптимізації з обмеженнями є множиною розв'язків обмежень.

Приклади ред.

  1. Множиною розв'язків єдиного рівняння   є множина {0}.
  2. Для будь-якого ненульового многочлена   над комплексними числами в одній змінній множина розв'язків складається зі скінченної кількості точок.
  3. Однак для комплексного полінома з більш ніж однією змінною множина розв'язків не має ізольованих точок.

Зауваження ред.

В алгебричній геометрії множини розв'язків називають алгебричними множинами, якщо немає нерівностей. Над дійсними числами і з нерівностями їх називають напівалгебричними множинами.

Інші значення ред.

Загальніше, множина розв'язків для довільної колекції E відношень (Ei) (i змінюється в деякому наборі індексів I) для набору невідомих  , які мають набувати значень у відповідних просторах  , — множина S всіх розв'язків відношень E, де розв'язок   це сімейство значень   таке, що підстановка   замість   у колекції E робить усі відношення істинними.

(Замість відношень, що залежать від невідомих, правильніше говорити про предикати, колекція E є їх логічною кон'юнкцією, а множина розв'язків є оберненим відображенням булевого значення істина за допомогою пов'язаної з ним логічної функції[en].)

Наведене вище визначення є окремим випадком цього, якщо множину поліномів fi інтерпретувати як множину рівнянь fi(x)=0.

Приклади ред.

  • Множиною розв'язків для E={x+y=0} при   є  .
  • Множиною розв'язків для E = {x+y=0} при   є S={−y}. (Тут y не «оголошено» як невідоме, і тому його слід розглядати як параметр, від якого залежить рівняння, а отже, й множина розв'язків.)
  • Множиною розв'язків для   при   є інтервал S=[0,2] (оскільки   не визначено для від'ємних значень x).
  • Множиною розв'язків для   при   є   (див. тотожність Ейлера).

Див. також ред.