Обертова система відліку

Оберто́ва систе́ма ві́дліку — це особливий випадок неінерційної системи відліку, яка обертається щодо інерційної системи відліку. Повсякденним прикладом обертової системи відліку є поверхня Землі.

Сили інерціїРедагувати

Докладніше: Сила інерції

Неінерційна система відліку проявляє фіктивні сили. Обертова система відліку характеризується трьома такими силами:

і, для нерівномірно обертових систем відліку,

Зіставлення обертових систем до стаціонарних системРедагувати

Наступне це виведення формул для прискорення а також фіктивних сил в обертовій системі відліку. Спочатку розглядаємо зв'язок між координатами частинки в обертовій системі відліку та її координатами в інерційній (стаціонарній) системі відліку. Тоді, беручі похідну, отримуємо формули, які пов'язують швидкість частинки, що спостерігається у цих системах відліку, і прискорення стосовно двох систем відліку. Використовуючи прискорення, через порівняння другого закону Ньютона сформульованого в обох системах відліку визначаємо фіктивні сили.

Зв'язок між позиціями в обох системах відлікуРедагувати

Для отримання сил інерції корисно вміти конвертувати координати   обертової системи відліку у координати   інерційної системи відліку з тим самим початком координат і навпаки. Якщо обертання відбувається щодо осі   з кутовою швидкістю   і дві системи збігаються у час  , перетворення з обертових координат у інерційні координати можна записати як:

 
 

тоді як зворотнє перетворення

 
 

Результат можна отримати з матриці повороту.

Введемо одиничні вектори   що представлятимуть стандартні одиничні базисні вектори обертової системи відліку. Далі знайдемо часову похідну цих одиничних векторів у обертовій системі відліку. Припустимо, що системи відліку вирівняні в час t = 0 і z-вісь є віссю обертання. Тоді для обертання проти годинникової стрілки на кут Ωt:

 

де (x, y) компоненти виражені у стаціонарну систему відліку. Так само,

 

Отже, часова похідна цих векторів, що обертаються без зміни величини, становить

 
 

де  . Цей результат також можна отримати через векторний добуток з вектором обертання   який спрямований уздовж осі обертання    , а саме,

 

де   це або   або  .

Часові похідні в двох системах відлікуРедагувати

Ми ввели вектори   які представляють стандартні одиничні базисні вектори в обертовій системі відліку. По мірі обертання вони залишатимуться нормалізованими. Якщо ми дозволимо їм обертатись зі швидкістю   щодо осі   тоді кожен одиничний вектор   обертової системи відліку кориться такому рівнянню:

 

Далі, якщо ми маємо вектор-функцію  ,

 

і ми хочемо дослідити її першу похідну, то ми отримуємо (використовуючи правило добутку):[1][2]

 
 
 

де   є швидкістю зміни  , як це видно з обертової системи координат. Скорочено диференціювання можна виразити як:

 

Цей результат відомий як транспортна теорема у аналітичній динаміці і також іноді згадувана як базове кінематичне рівняння.[3]

Зв'язок між векторами швидкостей в двох системах відлікуРедагувати

Вектор швидкості об'єкта це часова похідна позиції об'єкта або

 

Часова похідна позиції   в обертовій системі відліку має дві складові, одну з явної залежності внаслідок руху самої частинки, другу з власного обертання системи відліку. Застосовуючи результат попереднього підрозділу до зміщення  , швидкості у двох системах відліку пов'язані таким рівнянням

 

де індекс i позначає інерційну систему відліку, а r — обертову систему відліку.

Зв'язок між прискореннями у двох системах відлікуРедагувати

Прискорення є другою похідною по часу від позиції або перша похідна по часу від швидкості

 

де індекс i позначає інерційну систему відліку. Виконавши диференціювання і перестановку деяких членів дає нам прискорення в обертовій системі відліку

 

де   — це видиме прискорення в обертовій системі відліку, доданок   представляє відцентрове прискорення, а доданок   — це коріолісове прискорення.

ПриміткиРедагувати

  1. Cornelius Lanczos (1986). The Variational Principles of Mechanics (вид. Reprint of Fourth Edition of 1970). Dover Publications. Chapter 4, §5. ISBN 0-486-65067-7. 
  2. John R Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. с. 342. ISBN 1-891389-22-X. 
  3. Corless, Martin. Kinematics. Aeromechanics I Course Notes. Purdue University. с. 213. Процитовано 18 липня 2011.