Обертова система відліку

Оберто́ва систе́ма ві́дліку — це особливий випадок неінерційної системи відліку, яка обертається щодо інерційної системи відліку. Повсякденним прикладом обертової системи відліку є поверхня Землі.

Сили інерції

Неінерційна система відліку проявляє фіктивні сили. Обертова система відліку характеризується трьома такими силами:

• відцентрова сила,
• сила Коріоліса,

і, для нерівномірно обертових систем відліку,

• сила Ейлера.

Зіставлення обертових систем до стаціонарних систем

Наступне це виведення формул для прискорення а також фіктивних сил в обертовій системі відліку. Спочатку розглядаємо зв'язок між координатами частинки в обертовій системі відліку та її координатами в інерційній (стаціонарній) системі відліку. Тоді, беручі похідну, отримуємо формули, які пов'язують швидкість частинки, що спостерігається у цих системах відліку, і прискорення стосовно двох систем відліку. Використовуючи прискорення, через порівняння другого закону Ньютона сформульованого в обох системах відліку визначаємо фіктивні сили.

Зв'язок між позиціями в обох системах відліку

Для отримання сил інерції корисно вміти конвертувати координати $\left(x',y',z'\right)$ обертової системи відліку у координати $\left(x,y,z\right)$ інерційної системи відліку з тим самим початком координат і навпаки. Якщо обертання відбувається щодо осі $z$ з кутовою швидкістю $\Omega$ і дві системи збігаються у час $t=0$, перетворення з обертових координат у інерційні координати можна записати як:

$x=x'\cos \left(\theta (t)\right)-y'\sin \left(\theta (t)\right)$

$y=x'\sin \left(\theta (t)\right)+y'\cos \left(\theta (t)\right)$

тоді як зворотнє перетворення

$x'=x\cos \left(-\theta (t)\right)-y\sin \left(-\theta (t)\right)$

$y'=x\sin \left(-\theta (t)\right)+y\cos \left(-\theta (t)\right)$

Результат можна отримати з матриці повороту.

Введемо одиничні вектори ${\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}},$ що представлятимуть стандартні одиничні базисні вектори обертової системи відліку. Далі знайдемо часову похідну цих одиничних векторів у обертовій системі відліку. Припустимо, що системи відліку вирівняні в час t = 0 і z-вісь є віссю обертання. Тоді для обертання проти годинникової стрілки на кут Ωt:

${\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))$

де (x, y) компоненти виражені у стаціонарну систему відліку. Так само,

${\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=(-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))\ .$

Отже, часова похідна цих векторів, що обертаються без зміни величини, становить

${\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=\Omega (-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))=\Omega {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}\ ;$

${\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=\Omega (-\cos \theta (t),\ -\sin \theta (t))=-\Omega {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\ ,$

де $\Omega \equiv {\frac {d}{dt}}\theta (t)$. Цей результат також можна отримати через векторний добуток з вектором обертання ${\boldsymbol {\Omega }},$ який спрямований уздовж осі обертання $z,$ ${\boldsymbol {\Omega }}=(0,\ 0,\ \Omega )$, а саме,

${\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times }}{\hat {\boldsymbol {u}}}\ ,$

де ${\hat {\boldsymbol {u}}}$ це або ${\hat {\boldsymbol {\imath }}},$ або ${\hat {\boldsymbol {\jmath }}}$.

Часові похідні в двох системах відліку

Ми ввели вектори ${\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}},$ які представляють стандартні одиничні базисні вектори в обертовій системі відліку. По мірі обертання вони залишатимуться нормалізованими. Якщо ми дозволимо їм обертатись зі швидкістю $\Omega$ щодо осі ${\boldsymbol {\Omega }},$ тоді кожен одиничний вектор ${\hat {\boldsymbol {u}}}$ обертової системи відліку кориться такому рівнянню:

${\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times {\hat {u}}}}\ .$

Далі, якщо ми маємо вектор-функцію ${\boldsymbol {f}}$,

${\boldsymbol {f}}(t)=f_{x}(t){\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{y}(t){\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{z}(t){\hat {\boldsymbol {k}}}\ ,$

і ми хочемо дослідити її першу похідну, то ми отримуємо (використовуючи правило добутку):

${\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {f}}={\frac {df_{x}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {d{\hat {\boldsymbol {\imath }}}}{dt}}f_{x}+{\frac {df_{y}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {d{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}{dt}}f_{y}+{\frac {df_{z}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+{\frac {d{\hat {\boldsymbol {k}}}}{dt}}f_{z}$

$={\frac {df_{x}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {df_{y}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {df_{z}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+[{\boldsymbol {\Omega \times }}(f_{x}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{y}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{z}{\hat {\boldsymbol {k}}})]$

$=\left({\frac {d{\boldsymbol {f}}}{dt}}\right)_{r}+{\boldsymbol {\Omega \times f}}(t)\ ,$

де $\left({\frac {d{\boldsymbol {f}}}{dt}}\right)_{r}$ є швидкістю зміни ${\boldsymbol {f}}$, як це видно з обертової системи координат. Скорочено диференціювання можна виразити як:

${\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {d}{dt}}\right)_{r}+{\boldsymbol {\Omega \times }}\right]{\boldsymbol {f}}\ .$

Цей результат відомий як транспортна теорема у аналітичній динаміці і також іноді згадувана як базове кінематичне рівняння.

Зв'язок між векторами швидкостей в двох системах відліку

Вектор швидкості об'єкта це часова похідна позиції об'єкта або

$\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$

Часова похідна позиції ${\boldsymbol {r}}(t)$ в обертовій системі відліку має дві складові, одну з явної залежності внаслідок руху самої частинки, другу з власного обертання системи відліку. Застосовуючи результат попереднього підрозділу до зміщення ${\boldsymbol {r}}(t)$, швидкості у двох системах відліку пов'язані таким рівнянням

$\mathbf {v_{i}} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \ ,$

де індекс i позначає інерційну систему відліку, а r — обертову систему відліку.

Зв'язок між прискореннями у двох системах відліку

Прискорення є другою похідною по часу від позиції або перша похідна по часу від швидкості

$\mathbf {a} _{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)_{\mathrm {i} }=\left({\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right)_{\mathrm {i} }=\left[\left({\frac {d}{dt}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]\left[\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right]\ ,$

де індекс i позначає інерційну систему відліку. Виконавши диференціювання і перестановку деяких членів дає нам прискорення в обертовій системі відліку

$\mathbf {a} _{\mathrm {r} }=\mathbf {a} _{\mathrm {i} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {r}$

де $\mathbf {a} _{\mathrm {r} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)_{\mathrm {r} }$ — це видиме прискорення в обертовій системі відліку, доданок $-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )$ представляє відцентрове прискорення, а доданок $-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }$ — це коріолісове прискорення.