Наступне це виведення формул для прискорення а також фіктивних сил в обертовій системі відліку. Спочатку розглядаємо зв'язок між координатами частинки в обертовій системі відліку та її координатами в інерційній (стаціонарній) системі відліку. Тоді, беручі похідну, отримуємо формули, які пов'язують швидкість частинки, що спостерігається у цих системах відліку, і прискорення стосовно двох систем відліку. Використовуючи прискорення, через порівняння другого закону Ньютона сформульованого в обох системах відліку визначаємо фіктивні сили.
ред.
Для отримання сил інерції корисно вміти конвертувати координати
(
x
′
,
y
′
,
z
′
)
{\displaystyle \left(x',y',z'\right)}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \left(x,y,z\right)}
z
{\displaystyle z}
кутовою швидкістю
Ω
{\displaystyle \Omega }
t
=
0
{\displaystyle t=0}
x
=
x
′
cos
(
θ
(
t
)
)
−
y
′
sin
(
θ
(
t
)
)
{\displaystyle x=x'\cos \left(\theta (t)\right)-y'\sin \left(\theta (t)\right)}
y
=
x
′
sin
(
θ
(
t
)
)
+
y
′
cos
(
θ
(
t
)
)
{\displaystyle y=x'\sin \left(\theta (t)\right)+y'\cos \left(\theta (t)\right)}
тоді як зворотнє перетворення
x
′
=
x
cos
(
−
θ
(
t
)
)
−
y
sin
(
−
θ
(
t
)
)
{\displaystyle x'=x\cos \left(-\theta (t)\right)-y\sin \left(-\theta (t)\right)}
y
′
=
x
sin
(
−
θ
(
t
)
)
+
y
cos
(
−
θ
(
t
)
)
{\displaystyle y'=x\sin \left(-\theta (t)\right)+y\cos \left(-\theta (t)\right)}
Результат можна отримати з матриці повороту .
Введемо одиничні вектори
ı
^
,
ȷ
^
,
k
^
,
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}},}
t = 0 і z -вісь є віссю обертання. Тоді для обертання проти годинникової стрілки на кут Ωt :
ı
^
(
t
)
=
(
cos
θ
(
t
)
,
sin
θ
(
t
)
)
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))}
де (x , y ) компоненти виражені у стаціонарну систему відліку. Так само,
ȷ
^
(
t
)
=
(
−
sin
θ
(
t
)
,
cos
θ
(
t
)
)
.
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=(-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))\ .}
Отже, часова похідна цих векторів, що обертаються без зміни величини, становить
d
d
t
ı
^
(
t
)
=
Ω
(
−
sin
θ
(
t
)
,
cos
θ
(
t
)
)
=
Ω
ȷ
^
;
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=\Omega (-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))=\Omega {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}\ ;}
d
d
t
ȷ
^
(
t
)
=
Ω
(
−
cos
θ
(
t
)
,
−
sin
θ
(
t
)
)
=
−
Ω
ı
^
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=\Omega (-\cos \theta (t),\ -\sin \theta (t))=-\Omega {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\ ,}
де
Ω
≡
d
d
t
θ
(
t
)
{\displaystyle \Omega \equiv {\frac {d}{dt}}\theta (t)}
векторний добуток з вектором обертання
Ω
,
{\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }},}
z
,
{\displaystyle z,}
Ω
=
(
0
,
0
,
Ω
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=(0,\ 0,\ \Omega )}
d
d
t
u
^
=
Ω
×
u
^
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times }}{\hat {\boldsymbol {u}}}\ ,}
де
u
^
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}
ı
^
,
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},}
ȷ
^
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}
ред.
Ми ввели вектори
ı
^
,
ȷ
^
,
k
^
,
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}},}
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
,
{\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }},}
u
^
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}
d
d
t
u
^
=
Ω
×
u
^
.
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times {\hat {u}}}}\ .}
Далі, якщо ми маємо вектор-функцію
f
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}}
f
(
t
)
=
f
x
(
t
)
ı
^
+
f
y
(
t
)
ȷ
^
+
f
z
(
t
)
k
^
,
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(t)=f_{x}(t){\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{y}(t){\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{z}(t){\hat {\boldsymbol {k}}}\ ,}
і ми хочемо дослідити її першу похідну, то ми отримуємо (використовуючи правило добутку ):[ 1] [ 2]
d
d
t
f
=
d
f
x
d
t
ı
^
+
d
ı
^
d
t
f
x
+
d
f
y
d
t
ȷ
^
+
d
ȷ
^
d
t
f
y
+
d
f
z
d
t
k
^
+
d
k
^
d
t
f
z
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {f}}={\frac {df_{x}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {d{\hat {\boldsymbol {\imath }}}}{dt}}f_{x}+{\frac {df_{y}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {d{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}{dt}}f_{y}+{\frac {df_{z}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+{\frac {d{\hat {\boldsymbol {k}}}}{dt}}f_{z}}
=
d
f
x
d
t
ı
^
+
d
f
y
d
t
ȷ
^
+
d
f
z
d
t
k
^
+
[
Ω
×
(
f
x
ı
^
+
f
y
ȷ
^
+
f
z
k
^
)
]
{\displaystyle ={\frac {df_{x}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {df_{y}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {df_{z}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+[{\boldsymbol {\Omega \times }}(f_{x}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{y}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{z}{\hat {\boldsymbol {k}}})]}
=
(
d
f
d
t
)
r
+
Ω
×
f
(
t
)
,
{\displaystyle =\left({\frac {d{\boldsymbol {f}}}{dt}}\right)_{r}+{\boldsymbol {\Omega \times f}}(t)\ ,}
де
(
d
f
d
t
)
r
{\displaystyle \left({\frac {d{\boldsymbol {f}}}{dt}}\right)_{r}}
f
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}}
d
d
t
f
=
[
(
d
d
t
)
r
+
Ω
×
]
f
.
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {d}{dt}}\right)_{r}+{\boldsymbol {\Omega \times }}\right]{\boldsymbol {f}}\ .}
Цей результат відомий як транспортна теорема у аналітичній динаміці і також іноді згадувана як базове кінематичне рівняння.[ 3]
ред.
Вектор швидкості об'єкта це часова похідна позиції об'єкта або
v
=
d
e
f
d
r
d
t
{\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}
Часова похідна позиції
r
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}
r
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}
швидкості у двох системах відліку пов'язані таким рівнянням
v
i
=
d
e
f
d
r
d
t
=
(
d
r
d
t
)
r
+
Ω
×
r
=
v
r
+
Ω
×
r
,
{\displaystyle \mathbf {v_{i}} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \ ,}
де індекс i позначає інерційну систему відліку, а r — обертову систему відліку.
ред.
Прискорення є другою похідною по часу від позиції або перша похідна по часу від швидкості
a
i
=
d
e
f
(
d
2
r
d
t
2
)
i
=
(
d
v
d
t
)
i
=
[
(
d
d
t
)
r
+
Ω
×
]
[
(
d
r
d
t
)
r
+
Ω
×
r
]
,
{\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)_{\mathrm {i} }=\left({\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right)_{\mathrm {i} }=\left[\left({\frac {d}{dt}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]\left[\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right]\ ,}
де індекс i позначає інерційну систему відліку.
Виконавши диференціювання і перестановку деяких членів дає нам прискорення в обертовій системі відліку
a
r
=
a
i
−
2
Ω
×
v
r
−
Ω
×
(
Ω
×
r
)
−
d
Ω
d
t
×
r
{\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }=\mathbf {a} _{\mathrm {i} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {r} }
де
a
r
=
d
e
f
(
d
2
r
d
t
2
)
r
{\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)_{\mathrm {r} }}
−
Ω
×
(
Ω
×
r
)
{\displaystyle -{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}
відцентрове прискорення , а доданок
−
2
Ω
×
v
r
{\displaystyle -2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}
коріолісове прискорення .
![{\displaystyle ={\frac {df_{x}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {df_{y}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {df_{z}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+[{\boldsymbol {\Omega \times }}(f_{x}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{y}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{z}{\hat {\boldsymbol {k}}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8345eab41e3f8055d1f29c5d204372e56744bb4)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {d}{dt}}\right)_{r}+{\boldsymbol {\Omega \times }}\right]{\boldsymbol {f}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c550bae15ca91be82116a80c88f220da23d47db)
![{\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)_{\mathrm {i} }=\left({\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right)_{\mathrm {i} }=\left[\left({\frac {d}{dt}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]\left[\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right]\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b985afbac03ff30e7fe7a9c4d7614b8548a261)
